第六章 弯曲变形.ppt

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1、弯曲变形第六章§6–1基本概念及工程实例一.工程实例但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要.例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.1、挠度横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.二、基本概念弯曲变形w挠度C'CABwx2、转角横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用表示弯曲变形转角AC'CwBxw挠度（3、挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线.式中x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度.挠曲

2、线挠曲线方程为wABx转角w挠度（C'C4、挠度与转角的关系wABx转角w挠度C'C挠曲线5、挠度和转角符号的规定挠度向上为正,向下为负.转角自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.wABx转角w挠度C'C挠曲线§6–2挠曲线的微分方程一、推导公式1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系横力弯曲时,M和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则2、由数学得到平面曲线的曲率在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.曲线向上凸时,OxwxOw因此,与的正负号相同曲线向下凸时:此式称为梁的挠曲线近似微分方程与

3、1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为(6.5)近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了项;(3)§6–3用积分法求弯曲变形一、微分方程的积分若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成2、再积分一次,得挠度方程二、积分常数的确定1、边界条件2、连续条件1、积分一次得转角方程积分常数C1、C2由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（

4、边界条件、连续条件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。讨论：例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角ABxF弯曲变形w(1)弯矩方程为解：(2)挠曲线的近似微分方程为xwABxF弯曲变形对挠曲线近似微分方程进行积分梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条件将边界条件代入(3)(4)两式中,可得BxyAF（）都发生在自由端截面处和（）例题2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方

5、程,并确定其和ABql解:由对称性可知，梁的两个支反力为ABqlRARBx此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为弯曲变形xABqlRARBAB在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为wmax在梁跨中点处有最大挠度值边界条件,时例题3图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.ABFDab弯曲变形l解:梁的两个支反力为RARBABFDabl12xx两段梁的弯矩方程分别为两段梁的挠曲线方程分别

6、为1(0xa)挠曲线方程转角方程挠度方程挠曲线方程转角方程挠度方程(axl)2D点的连续条件边界条件在x=a处在x=0处，在x=l处，代入方程可解得:ABFDab12RARB12将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大弯曲变形简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁,令得当a>b时,x1

7、各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项.对(x-a)的项作积分时，应该将(x-a)项作为积分变量.从而简化了确定积分常数的工作.积分法的原则§6–4用叠加法求弯曲变形梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则

8、叠加就是代数和.这就是叠加原理.一、叠加原理1、载荷叠加:多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.2、结构形式叠加（逐段刚化法）1、按叠加原理求A点转角和C点挠度.解:(1)载荷分解如图(2)由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形.BqFACaaF=AB+