第六章弯曲变形.ppt

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1、第六章弯曲变形材料力学§6－１梁的位移弯曲变形研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件）。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）1.挠度ω：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移。向上为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转过的角位移。逆时针转动为正，反之为负。弯曲变形一、度量梁变形的两个基本位移量§6-2梁的挠曲线近似微分方程PxCqC1yω二、挠曲线方程：变形后，梁的轴线变为光滑连续曲线。其方程为：ω=f(x)三、转角与挠曲线的关系：弯曲变形小变形：PxCqC1yωθ四、挠曲线

2、近似微分方程弯曲变形PxCqC1yω由数学知识可知：略去高阶小量，得所以由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。挠曲线近似微分方程M(x)EI＝d2wdx2对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：1.微分方程的积分弯曲变形§6-3用积分法求弯曲变形转角方程挠度方程支座位移条件：连续条件：光滑条件：弯曲变形2.位移边界条件PABCPD讨论：①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的

3、位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。弯曲变形挠曲线近似微分方程M(x)EI＝d2wdx2例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体

4、平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，材料力学叠加法前提小变形力与位移之间成线性关系挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系轴向位移忽略不计。§6-4按叠加原理求梁的挠度与转角设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为ω，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：所以，7-4故由于梁的边

5、界条件不变，因此结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。材料力学第一类叠加法叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度或转角，等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度或转角的代数和。应用于多个载荷作用的情形例已知：q、l、EI，求：ωC,B材料力学yyy材料力学yyy材料力学材料力学例怎样用叠加法确定C和ωC?y材料力学yyyy材料力学ww材料力学y材料力学第二类叠加法逐段刚化法将梁的挠曲线分成几段，除所研究的梁段发生变形

6、外，其余各段梁均视为刚体。然后分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角），最后计算其总和，即得需求的位移。ABalFC例：怎样用叠加法确定ωC?材料力学ABalFCFABalCFaFaBC+1）考虑AB段(BC段看作刚体)F作用在支座上，不产生变形。Fa使AB梁产生向上凸的变形。查表得：则材料力学2）考虑BC段(AB段看作刚体)AFaBC所以ABalCFa例题变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度ωc.材料力学刚度条件：[ω]——许可挠度，[]——许可转角工程中，[ω]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示，例如：桥式起重机梁

7、：一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：梁的刚度校核L=400mmP2=2kNACa=100mm200mmDP1=1kNB例下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，规定C点的[ω/L]=0.0005,B点的[]=0.001弧度,试校核此杆的刚度。=++=弯曲变形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：结构变换，查表求简单载荷变形。弯曲变形L=400mmP2=2kNACa=100mm200mmDP1=1kNBP1=1k

8、NABDCP2BCDAMxP2BCa=++图1图2图3弯曲变形L=400mmP2=2kNACa=100mm200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDA