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《特征方程特征根法求解数列通项公式.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、特征方程特征根法求解数列通项公式一:A(n+1)=pAn+q,p,q为常数.(1)通常设:A(n+1)-λ=p(An—λ),则λ=q/(1-p).(2)此处如果用特征根法:特征方程为:x=px+q,其根为x=q/(1-p)注意:若用特征根法,λ的系数要是—1例一:A(n+1)=2An+1,其中q=2,p=1,则λ=1/(1—2)=-1那么A(n+1)+1=2(An+1)二:再来个有点意思的,三项之间的关系:A(n+2)=pA(n+1)+qAn,p,q为常数(1)通常设:A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],则m+k=p
2、,mk=q(2)此处如果用特征根法:特征方程是y×y=py+q(※)注意:①mn为(※)两根.②mn可以交换位置,但其结果或出现两种截然不同的数列形式,但同样都可以计算An,而且还会有意想不到的惊喜,③mn交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式,这个时侯你会发现,这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组,那么不就可以消去A(n+1),留下An,得了,An求出来了.例二:A1=1,A2=1,A(n+2)=-5A(n+1)+6An,特征方程为:y×y=—5y+6那么,m=3,n=2,或者m=2,n=3于是,A(n+2)—
3、3A(n+1)=2[A(n+1)-3A](1)A(n+2)—2A(n+1)=3[A(n+1)-2A](2)所以,A(n+1)—3A(n)=-2^n(3)A(n+1)-2A(n)=—3^(n—1)(4)yousee消元消去A(n+1),就是An勒例三:【斐波那挈数列通项公式的推导】 斐波那契数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21…… 如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式: F(0)=0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n—1)+F(n-2)(n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式
4、的推导方法一:利用特征方程 线性递推数列的特征方程为: X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,X2=(1—√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1+C2*X2 C1*X1^2+C2*X2^2 解得C1=1/√5,C2=-1/√5 ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n—[(1—√5)/2]^n}【√5表示根号5】 通项公式的推导方法二:普通方法 设常数r,s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n—1)—r*F(n-2)] 则r+
5、s=1,—rs=1 n≥3时,有 F(n)-r*F(n—1)=s*[F(n—1)-r*F(n—2)] F(n—1)—r*F(n—2)=s*[F(n-2)—r*F(n-3)] F(n—2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n—4)] …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)—r*F(1)] 将以上n-2个式子相乘,得: F(n)—r*F(n-1)=[s^(n—2)]*[F(2)—r*F(1)] ∵s=1-r,F(1)=F(2)=1 上式可化简得: F(n)=s^(n—1)+r*F(n—1) 那么:
6、F(n)=s^(n-1)+r*F(n—1) =s^(n—1)+r*s^(n—2)+r^2*F(n-2) =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*F(n—3) …… =s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F(1) =s^(n—1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n—3)+……+r^(n—2)*s+r^(n-1)(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和) =[s^(n—1)—r^(n-
7、1)*r/s]/(1-r/s) =(s^n—r^n)/(s-r) r+s=1,—rs=1的一解为s=(1+√5)/2,r=(1—√5)/2 则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}三:最后准备好了吗,咱们来看最刺激,最具挑战性的一组:A(n+1)=(MAn+N)/(CAn+D)M,C不同时为零此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法,比如数学归纳法一类的等等,但是如果一定要挑战一下自己,那我们现在就开始通项公式之路(1)此处似乎只能用特征根法:特征方程:x+(Mx+N)/(Cx+D)①特征方程
8、有两个不等的实根,设为α,β,则{(An—α)/(An—β)}为等比数列注意:α,β可以互换位置②特征方程有一个实根,α则{1/(An-α)}伟等差数列③特征方程没有实数根,则{