“形”散而“神”不散.doc

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1、“形”散而“神”不散定理一：两点的所有连线中，线段最短．简称：两点之间，线段最短．定理二：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．以上是教材中学生容易掌握的两个基本定理，直接运用，较为简单，但是在综合性强的试题中，学生就不一定能应用自如了．如果教师对综合题剖析到位，帮助学生建立相关的模型，那么无论试题如何变化（“形”散），解题思想、方法都有章可循（“神”不散），学生就能“会一道题，进而会一组题，会一类题”，触类旁通，攻克难点．笔者对两定理在“动点问题”中的应用进行了归纳梳理，例以中考试题说明其应用的广泛性和重要性．一、“动

2、点与定点之间距离最值”题型1．一个动点与一个定点之间距离的最值例1、（2009年，甘肃）如图1，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　）A．5B．4C．3D．2简析：由“垂线段最短”得，当OM⊥AB时，OM=4，再由勾股定理，得⊙O的半径为5，故选A．变式：①⊙O的弦AB=6，⊙O的半径为5，M是AB上任意一点，且OM长度为整数，则OM=_____．简析：OM长度最大值为5，最小值为3，故OM=3、4或5．②⊙O的弦AB=6，⊙O的半径为5，M是AB上任意一点，且OM长度为整数，则M点位置有____个．简析：由①得

3、OM=3、4或5，当OM=3时，M点位置只有1个；当OM=5时，M点位置有2个；当OM=4时，M点位置有2个．故M点位置共有5个．2．一个动点与两个定点之间距离的最值模型一：直线l同侧有两个定点A、B，在直线l上找一点C，使得AC+BC最小．求法：作A（或B）关于直线l的对称点A’（或B’），连接A’B（或B’A）交l于一点，则该点即为符合题意的点C．模型二：直线l异侧有两个定点A、B，在直线l上找一点C，使得最大．求法：作A（或B）关于直线l的对称点A’（或B’），连接A’B（或B’A）交l于一点，则该点即为符合题意的点C．模型一的应用：例2（201

4、0年，南通）已知抛物线经过，两点，当和时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点的直线l与x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，是抛物线上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．简析：（1）易求直线AB解析式：，抛物线解析式：．（2）略（3）可求，由于D、O是两定点，故DO为定长，欲求周长最小，即求最小．设，有，因为P到l距离为，所以P到O的距离与P到l距离相等，因此转化为P到D点距离与P到l

5、距离之和，的最小值就是点D到直线l的距离，此时P点为过D垂直于l的直线与抛物线交点，即，所求四边形CODP面积即为梯形CODP面积，且为．模型二的应用：例3（2009年，无锡）已知抛物线的顶点在直线上，且过点．（1）求这个抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上是否存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点，请在抛物线的对称轴上确定一点D，使的值最大，直接写出D的坐标．简析：（1）略（2）略（3）如图4，作C关于抛物线对称轴对称点，从而求得直线AC’解析式：，所以对称轴与直线AC’交点即为符

6、合题意的点D，且．3．一个动点与三个定点距离之和的最小值EADBCNM例4（2010年，宁德）如图5，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．简析：（1）略（2）①A、C两点线段最短，即M为AC、BD交点．②欲求AM＋BM＋CM的值最小，就是要求动点M到三个定点A、B、C距离之和

7、最小，如果点A、B、C共线，则点M一定在该直线上，事实上，本题中点A、B、C一定不共线．所以需通过等量代换将AM、BM、CM换成等量线段放至一直线上，由⑴△AMB≌△ENB得，由等边三角形BMN得，所以当EN、MN、CM在同一直线上，即当M为线段EC与BD交点时，AM＋BM＋CM的值最小，且最小值为EC的长．（3）略二、“动点与图形之间距离最值”题型例5（2010年，恩施）如图6，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）

8、连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP