2021年高考数学极坐标与参数方程全突破专题03 双曲线的参数方程（解析版）.docx

《2021年高考数学极坐标与参数方程全突破专题03 双曲线的参数方程（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、双曲线的参数方程一、例题讲解1.（2020-2021·四川·月考试卷）已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8cosθ，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为x=u2+1u2，y=u2-1u2（u为参数，u≠0），直线l过C2与x轴的交点，且倾斜角为α.(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；(2)设直线l与曲线C1相交于A，B，线段AB的中点为M，求M轨迹的参数方程．【答案】解：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ=8cosθ，即ρ2=8ρcosθ，又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，所以C1的直角坐标方程为x2+y2-8x=0．曲线C2的参数方程为x=

2、u2+1u2，y=u2-1u2 （u为参数，u≠0），所以x+y=2u2，x-y=2u2，则(x+y)(x-y)=4，所以曲线C2的普通方程为x2-y2=4(x≥2)．(2)法一：直线l的参数方程为x=2+tcosα，y=tsinα（t为参数），代入x2+y2-8x=0，得t2-4tcosα-12=0，设A，B，M的参数值分别为t1，t2，t0，则t0=t1+t22=2cosα，从而，xM=2+2cos2α=3+cos2α，yM=2cosαsinα=sin2α，所以，M轨迹的参数方程为x=3+cos2α，y=sin2α（α为参数）．法二：设A(2,0)，C1(4,0)，由垂径定理，知点M的轨迹

3、是以AC1为直径的圆，其方程为(x-2)(x-4)+y2=0，即x2-6x+y2+8=0，即(x-3)2+y2=1，故M轨迹的参数方程为x=3+cosθ，y=sinθ（θ为参数）． 2.（2020-2021·吉林·月考试卷）曲线C：x=12t+1t，y=12t-1t（t为参数且t∈R），直线l的极坐标方程为tanθ=2ρ∈R.(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的最小值．【答案】解：(1)由x=12t+1t，y=12t-1t，两边平方作差得：x2-y2=1；由tanθ=yx，且tanθ=2，得y=2x．所以曲线C的直角坐标方程为x2-y2=1，直线l

4、的直角坐标方程为y=2x．(2)设P12t+1t,12t-1t，由点到直线的距离公式可知：d(P,l)=t+1t-12t-1t5=12t+32t5≥35=155，当且仅当t=±3，取等号,所以P到直线l距离的最小值为155.3.（2020-2021·山西·月考试卷）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x=33+32t，y=-23+12t（t为参数），曲线C2的参数方程为x=1cosφ，y=2tanφ（φ为参数），曲线C1，C2交于A，B两点．(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)已知P点的直角坐标为33,-23，求

5、PA

6、

7、+

8、PB

9、的值．【答案】解：(1)曲线C1的参数方程为x=33+32t，y=-23+12t（t为参数），消去t得，x-3y-3=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得曲线C1的极坐标方程为：ρcosθ-3ρsinθ-3=0，即ρsinθ-π6=-32.曲线C2的参数方程为x=1cosφ，y=2tanφ（φ为参数），消去φ得，x2-y22=1，所以曲线C2的普通方程为x2-y22=1.(2)将x=33+32t，y=-23+12t代入x2-y22=1中，得58t2+43t-89=0.设A，B两点所对的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-3215，t1⋅t2=-6445，所以

10、PA

11、+

12、

13、PB

14、=

15、t1-t2

16、=(t1+t2)2-4t1⋅t2=165. 4.（2020-2021·广西·月考试卷）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=1cosθ,y=sinθcosθ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=π3(ρ=R)．(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；(2)已知点P为C上任意一点，求点P到直线l距离的最小值．【答案】解：(1)根据曲线C的参数方程得：x2-y2=1cos2θ-sin2θcos2θ=1-sin2θcos2θ=1，即曲线C的普通方程为x2-y2=1．由题意得，tanθ=tanπ3=3，直线l的

17、直角坐标方程为y=3x．(2)设过点P与l平行的直线l0的方程为y=3x+b，联立y=3x+b,x2-y2=1,得2x2+23bx+b2+1=0，由Δ=12b2-4×2×(b2+1)=4b2-8=0，解得b=±2，即当直线l0与曲线C相切于点P时，直线l0的方程为y=3x±2，此时点P到直线l距离的最小值即为两平行线l与l0之间的距离．所以P到直线l距离的最小值为

18、2-0

19、(3)2+1=22． 5