2021届高考数学（理）二轮高频考点复习解密15 空间向量与立体几何 (讲义).doc

《2021届高考数学（理）二轮高频考点复习解密15 空间向量与立体几何 (讲义).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、解密15空间向量与立体几何高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用空间向量求线面角从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.2020新课标全国Ⅱ202018新课标全国Ⅰ182018新课标全国Ⅱ20★★★★★利用空间向量求二面角2020新课标全国Ⅲ192020新课标全国Ⅰ182019新课标全国Ⅰ182019新课标全国Ⅱ172019新课标全国Ⅲ19

2、2018新课标全国Ⅲ19★★★★★考点一利用空间向量证明平行与垂直调研1如图，在正方体中，是的中点，是线段上一点，且.（1）求证：；（2）若平面平面，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则，于是，因为，所以，故.（2）由（1）可知的一个法向量为，由，则，设平面CDE的法向量为，由，得可取，因为，所以.☆技巧点拨☆直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3

3、)，则（1）线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2=0；（2）线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2；（3）面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3；（4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3=0.注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用

4、直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.考点二求空间角题组一求异面直线所成的角调研1如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A．−B．−C．D．【答案】D【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0

5、，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cosθ=

6、cos〈，〉

7、=.调研2在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】以点D为原点，DA、DC、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P坐标为，则，设的夹角为，则，所以当时，取最大值.当时，取最小值.因为，所以与所成角的取值范围是.故选D.【名师点睛】空间向量的引入为求空间角带来了方便，解题时只需通

8、过代数运算便可达到解题的目的，由于两向量夹角的范围为，因此向量的夹角不一定等于所求的空间角，因此在解题时求得两向量的夹角（或其余弦值）后还要分析向量的夹角和空间角大小间的关系．解题时要根据所求的角的类型得到空间角的范围，并在此范围下确定出所求角（或其三角函数值）．☆技巧点拨☆利用向量求异面直线所成的角一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cosβ=.注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即co

9、sα=

10、cosβ

11、.题组二求线面角调研3如图，四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．（1）求证：PE⊥CD；（2）求PC与平面PDE所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE.又△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB．因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD，而CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD．（2）以E为坐标原点，建立如图所

12、示的空间直角坐标系E−xyz.则E(0，0，0)，C(1，−1，0)，D(2，1，0)，P(0，0，)．所以=(2，1，0)，=(0，0，)，=(1，−1，−)．设