2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课时跟踪训练含解析新人教A版必修5202102261144.doc

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1、高考1.1.2余弦定理[A组　学业达标]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC等于(　　)A.B.C.D.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－8×＝25，所以b＝5.cosC＝＝－，sinC＝＝.答案：B2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为(　　)A．90°B．120°C．135°D．150°解析：设长为7的边所对的角为θ，由已知条件可知角θ为中间角．因为cosθ＝＝，所以θ＝60°，所以最大角与最小角的和为120°.答案：B3．在△ABC中，若

2、a＜b＜c，且c2＜a2＋b2，则△ABC为(　　)A．直角三角形B．锐角三角形-7-/7高考C．钝角三角形D．不存在解析：因为c2＜a2＋b2，所以C为锐角，因为a＜b＜c，所以C为最大角，所以△ABC为锐角三角形．答案：B4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)A.B．C.D.解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cosα＝＝.答案：D5．在△ABC中，有下列结论：①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；③

3、若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：①cosA＝＜0，所以A为钝角，正确；②cosA＝＝－，所以A＝120°，错误；③cosC＝＞0，所以C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误．答案：A-7-/7高考6．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则此三角形的最小内角的余弦值等于________．解析：因为sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，所

4、以由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7，所以a＝，c＝，A为三角形的最小内角，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝.答案：7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________.解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos60°，即c2＝a2＋b2－ab.①又因为(a＋b)2－c2＝4，所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②比较①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝.答案：8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝__

5、______.解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cosB＝＝＝.答案：-7-/7高考9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°.a＋c＝8，ac＝15，则a，c是方程x2－8x＋15＝0的两根．解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋25－2×3×5×＝19.∴b＝.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)·tanB＝ac.求角B的值．解析：因为(a2＋c2－b2)

6、·tanB＝ac，所以＝，即cosB＝，所以sinB＝，又因为B∈(0，π)，所以B为或.[B组　能力提升]11．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为(　　)A．79B．69C．5D．－5解析：由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，因为向量与的夹角为180°－∠ABC，所以·＝

7、

8、

9、

10、cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.答案：D-7-/7高考12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2a－b＝2ccosB，则角C的大小为(　　)A.B．C.D.解析：由余弦定理cosB＝，代入已知条件得：2a－b＝，

11、整理得a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝＝.又C∈(0，π)，所以C＝.答案：B13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析：由2sinB＝3sinC及正弦定理可得2b＝3c，由b－c＝a可得a＝c，b＝c，由余弦定理可得cosA＝＝.答案：14．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.解析：在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，将A＝，a＝c代入，可得(c)2＝b2＋c2－2bc·(－)，整理得2c2＝b2＋bc.

12、∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝＋，即2＝()2＋.-7-/7高考令t＝(t＞0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0，解得t＝1或t＝－2(舍去)，故＝1