2021届新高考地区专用数学二轮必刷题27椭圆及其性质（解析版）.docx

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1、专题27椭圆及其性质 1．已知椭圆x24+y22=1的焦点为F，短轴端点为P，若直线PF与圆O：x2+y2＝R2（R＞0）相切，则圆O的半径为（　　）A．22B．1C．2D．2【解析】解：取F(2，0)，P(0，2)，则PF的方程为x+y-2=0，所以圆心O到直线PF的距离d=R=21+1=1，故选：B． 2．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为12，直线y＝kx与该椭圆交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于（　　）A．±32B．±23C．±12D．±2【解析】解：由题可知，不妨设A、B两点的坐标分别为（﹣c，﹣kc），（c，kc）

2、，∵A、B均在椭圆上，∴c2a2+k2c2b2=1，又椭圆的离心率为12，∴ca=12，∴cb=ca2-c2=c4c2-c2=13，∴14+k23=1，解得k=±32．故选：A． 3．为了求得椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有m（m＜n）个．若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为（　　）A．mnB．2mnC．m2nD．nm【解析】解：椭圆和矩形相切，矩形的面积是2，24/24由随机模拟实验结合几何概型中的面积型可得：S椭圆S矩形=m

3、n，∴S椭圆=2mn，故选：B． 4．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若∠ABF2＝90°，且△ABF2的三边长

4、BF2

5、，

6、AB

7、，

8、AF2

9、成等差数列，则C的离心率为（　　）A．12B．33C．22D．32【解析】解：由已知，设

10、BF2

11、＝x，

12、AB

13、＝x+d，

14、AF2

15、＝x+2d，据勾股定理有x＝3d；由椭圆定义知△ABF2的周长为4a，有a＝3d，

16、BF2

17、＝a＝

18、BF1

19、；在直角△BF2F1中，由勾股定理，2a2＝4c2，∴离心率e=22，故选：C． 5．已知F1是椭圆Γ：x24+y23=1的左焦点，过

20、F1且与x轴垂直的直线与Γ交于A，B两点，点C与A关于原点O对称，则△ABC的面积为（　　）A．2B．3C．6D．12【解析】解：由椭圆的方程可得：a2＝4，b2＝3，所以c=a2-b2=1，所以左焦点F1（﹣1，0），由题意可得直线AB的方程为：x＝﹣1，代入椭圆的方程可得y2=94，可得y＝±32，所以设A（﹣1，32），B（﹣1，-32），由题意C（1，-32），所以C到直线AB的距离d＝2，

21、AB

22、＝2×32=3，所以S△ABC=12×

23、AB

24、×d=12×3×2＝3，24/24故选：B． 6．已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上一点（异

25、于左、右顶点），若存在以22c为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）A．(13，23]B．[23，1)C．(0，23]D．(0，13]【解析】解：F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以22c为半径的圆内切于△PF1F2，可得：12×(2a+2c)×22c=12×2c

26、yp

27、，∴(a+c)c=2c

28、yp

29、≤2bc，∴a+c≤2b，∴（a+c）2≤2b2，则0≤a2﹣2ac﹣3c2，∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴0＜e≤13．故选：D． 7．已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点

30、M在C外，MO→=3OF→，经过M的直线l与C的一个交点为N，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率为（　　）A．34B．33C．3-1D．3+14【解析】解：不妨设F（c，0），MO→=3OF→，则M（﹣3c，0），易知△MNF中只能∠MNF＝120°，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则N（﹣c，±233c），将N代入椭圆方程得到c2a2+43c2b2=1，即e2+4e23(1-e2)=1，解得e2=13或e2＝3（舍去），故e=33，故选：B． 8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，直线AF2与椭圆C2

31、4/24的另一个交点为B．若△BF1A为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（　　）A．13B．33C．12D．22【解析】解：如图，因为△BF1A为等腰三角形，且

32、AF1

33、＝

34、AF2

35、＝a，所以

36、AB

37、＝

38、BF1

39、，又

40、AB

41、+

42、BF1

43、+

44、AF1

45、＝4a，所以

46、AB

47、=3a2，所以

48、AF2

49、＝2

50、F2B

51、．过点B作BM⊥x轴，垂足为M，则△AOF2∽△BMF2，由A（0，﹣b），F2（c，0），得B(3c2，b