专题1.5 双重最值问题的解决策略-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）.doc

《专题1.5 双重最值问题的解决策略-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、玩转压轴题，突破140分之高三数学选择题、填空题高端精品一、方法综述形如求等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设，，，，为正常数，则（1）；（2）．证明：设，则，，，所以，当且仅当时取等，即．二、解题策略一、一元双重最值问题1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可．例1．对于a，bR，记Max｛a，b｝=，函数f（x）=Max｛，｝（xR）的最小值是（）(A)．(B)．1(C)．(D)．2【答案】C【解析】f（x）=Max｛，｝=，其图

2、象如下图，故答案为．2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．例2．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8．设H1(x)＝max，H2(x)＝min(max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝(　　)[来源:学科网]A．16B．－16C．a2－2a－16D．a2＋2a－16【答案】B（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x

3、）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选B．【解题秘籍】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．学&科网二、多元一次函数的双重最值问题1．利用不等式的性质例3．设（，，，，），，，求的最小值．2．利用绝对值不等式例4．求函数在区间上的最大值的最小值．解：

4、注意到，且，所以，当且仅当，即时，取得最小值．3．利用均值不等式例5．设max{f(x)，g(x)}=，若函数n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的图象经过不同的两点（，0）、（，0），且存在整数n使得n<<1B．max{n(n)，n(n+1)}<1C．max{n(n)，n(n+1)}>D．max{n(n)，n(n+1)}>【答案】B4．利用柯西不等式例6．若，，且，求．解：设，则，，，由柯西不等式得，当且仅当取等，即．5．分类讨论例7．若，，求的值．解：设，则，，，①当时，，，当且仅当时取等；②当时，，，当且仅当

5、时取等．综上，，当且仅当时取等，即．6．待定系数法例8．若，，求的值．7．构造函数例9．设，，，（），求．解：注意到为次函数且，联想到三倍角公式，因此先构造特殊函数，，若设，，则，从而，当且仅当，，，，即或时取等，故猜测．设，注意到（可用待定系数法求得），故，即，考虑到，时，，故．8．利用韦达定理例10．若，，且，，求．解：注意到，，的对称性，故可设，又，，[来源:Zxxk.Com]所以方程有两个不大于的实根，故，当，时，．9．数形结合例11．【2019山西实验中学月考一】设f（x）=min{2x，16﹣x，x2﹣8x+16}（x≥0），其中min{a，b，c}表示a，b，

6、c三个数中的最小值，则f（x）的最大值为（　　）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】画出y＝2x，y＝16﹣x，y＝x2﹣8x+16的图象，观察图象可知，当x≤2时，f（x）＝2x，当2

7、系中分别作出，，的图象，则，，的图象都过点，如图所示：则由图象可知函数的值域为，故选．3．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令，则t的最大值为________．【答案】4．已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e

8、x

9、，e

10、x－2

11、}，则f(x)的最小值为________．【答案】【解析】f(x)＝当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)；当x<1时，f(x)＝e

12、x－2

13、＝e2－x>e，因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e．[来源:学科网]5．