专题2.8 欲证不等恒成立，结论再造是利器-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：（Ⅰ）利用常见结论，如：，，等；（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．【典例指引】例1．已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．（I）求直线的方程及m的值；（II）若，求函数的最大值．（III）当时，求证：，取最大值，其最大值为2．（III）证明，当时，学科&网例2．设函数，，其中R，…为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）求证：(参考数据：)．【思路引导】（1）先构造函数，再对

2、其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解：（2）借助（1）的结论，当时，对恒成立，再令，得到即；又由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有．点评：解答本题的第一问时，先构造函数，再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解；证明本题的第二问时，充分借助（1）的结论及当时，对恒成立，令，得到即；进而由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有．从而使得问题巧妙获证．学科&网例3．设．（l）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整

3、数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）即在时，，从而求的参数的范围，，所以函数，所以．（2）由（1）可知当时，即，取，，得，即．累加可证到．所以．（2）设，[来源:Z&xx&k.Com]则，令得．在时，递减；在时，递增．∴最小值为，故，取，，得，即．学科&网累加得．∴．故存在正整数，使得．当时，取，有，不符合．故．学科&网【新题展示】1．【2019安徽安庆上学期期末】（1）已知函数，求函数在时的值域；（2）函数有两个不同的极值点，，①求实数的取值范围；②证明：.（本题中可以参与的不

4、等式：，）【思路引导】(1)首先可对函数进行求导，然后分析函数在上的单调性并求出最值，最后即可求出函数在上的值域；(2)①首先将“有两个不同极值点”转化为“有两个不同的正实根”，再根据(1)中所给出的函数性质即可得出结果；②可利用分析法进行证明。【解析】②由条件有两个不同的极值点，知：，于是有所以，即要证成立，只需证明只需证只需证只需证只需证，令，只需证，，而题中已给出该不等式成立.即证。2．【2019河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点，其中，.（1）求的取值范围；（2）若，求的最大值.【思路引导】（1

5、）求出,方程有两个不等的正根，（其中）.由韦达定理可得，,由此可得，由二次函数的性质可得结果；（2）设，则，求出,利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出最值，从而可得结果.【解析】∵，∴,故的取值范围是：.记，，则，∴在上单调递减，，故的最大值是：.3．【2019湖南益阳上学期期末】已知函数.（1）当时，比较与的大小；（2）若有两个极值点，求证：.【思路引导】(1),可得，可得故在时为增函数，可得结论；（2），，可得在上有两个零点.①当时，，在上为增函数，不可能有两个零点，②故.此时，即，整理得，即.可得，故要

6、证成立，只需证，即证，不妨设，即证.令，原不等式化为.由（1）得当时，.故只需证，化为，故原式得证.【解析】（2），.则在上有两个零点.令，即在上有两个零点，.当时，，在上为增函数，不可能有两个零点，故.此时，即，整理得，即..故要证成立，只需证，即证，4．【2019广东韶关1月调研】已知函数（其中是自然对数的底数）.（1）证明：①当时，；②当时，.（2）是否存在最大的整数，使得函数在其定义域上是增函数？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【思路引导】(1)①直接作差，构建新函数研究最值即可；②同样作差构建函数

7、，研究最值即可；(2)由题意可得，变量分离研究最值即可.[来源:Zxxk.Com]【解析】①令，当时，，故在区间上为减函数，当时，，故在区间上为增函数，因此，故.②令，，因此为增函数当时，，故.故为增函数，又，，因此在区间上有唯一的零点，记它为，在上单调递减，在上单调递增，故，因此，其中由（1）可知恒成立，且当时，成立故当且仅当时等号成立.因此.又因此，即存在最大的整数28，使得在其定义域上是增函数.5．【2019天津部分区期末】已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）记的导函数为，若不等式在区

8、间上恒成立，求的取值范围；（3）设函数，是函数的导函数，若存在两个极值点，，且满足，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）当时，，（1）．，可得（1）．利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ），．不等式，化为：．令在上恒成立，（1）．可得在上恒成立，化为：即可得出．（Ⅲ）根据可得和关于x的函数表达式，根据存在两个极值点，，可得=0在上有两个不等实数根，．因此，得出a的取值范围．并