专题2.9 函数图象高与低，差值正负恒成立-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】数形结合好方法：对于函数与的函数值大小问题，常常转化为函数的图象在上方（或下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数，即利用作差法，转化为论证恒成立问题.【典例指引】例1．设函数.（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；（2）求证：.【思路引导】（1）将问题转化为不等式在上恒成立，求实数的取值范围的问题。可构造函数，经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。（2）先证明对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，结合（1）③的结论，当，时在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。②当时，有，于是在上单调递减，从而，因此

2、在上单调递减，所以，不合题意；③当时，令，则当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，所以，而且仅有，不合题意.综上所求实数的取值范围是.学*科网（2）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，变形为恒成立，在（1）③中，令，，则得在上单调递减，所以，即，[来源:学&科&网Z&X&X&K]令，则得成立.当时，可得.即，所以成立。学*科网点睛：本题难度较大，解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在（1）中将问题转化为不等式恒成立的问题处理，在解题中需要在对参数m分类讨论的基础上再求其值。（2）中的问题更是考查学生的观察分析问题的能

3、力，在得到需要证明不等式成立的基础上仍需作出相应的变形，并利用上一问的结论来解决，所以需要学生具有较强的想象力。例2．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．【思路引导】（1）求出函数的导数，利用导数判断的单调性，并求出单调区间；（2）构造函数，利用导数证明在上为增函数，且求得得答案.点睛：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间

4、，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.例3．已知函数，为其导函数.(1)设，求函数的单调区间；(2)若，设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为证明：.[来源:Z*xx*k.Com]【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间即可；（2）问题转化为证明令[来源:Zxxk.Com]，根据函数单调性证明即可.(2)法一：，故在定义域上单调递增.只需证：，即证(*)学*科网注意到不妨设.令，则，从而在上单减，故，即得(*)式.取，则

5、显然有，从而，另外由三次函数的中心对称性可知，则有.学*科网【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.【新题展示】1．【2019河南周口期末调研】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求

6、的取值范围.【思路引导】（1）对函数求导，分当时和当时，讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）原式子等价于对任意，都有恒成立，即在上，按照第一问分的情况，继续讨论导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到函数的最值，得到结果.【解析】（2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，都有恒成立，即在上.由（1）知，当时，在上是增函数，又，不合题意；当时，在处取得极大值也是最大值，所以.令，所以.在上，，是减函数.又，所以要使得，须，即.故的取值范围为.2．【2019北京东城区高三期末】已知函数f（x）=axex-x2-2x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点

7、（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．【思路引导】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．【解析】设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为．3．【2019山东济南外国语学校1月段模】已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.【