2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数跟踪训练含解析新人教A版选修2_220210204276.doc

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1、函数的最大（小）值与导数[A组　学业达标]1．函数f(x)＝x－sinx在区间[0，π]上的最大值、最小值分别为(　　)A．π，0B．－，0C．π，－1D．0，－1解析：f′(x)＝1－cosx，令f′(x)＝0，得cosx＝，又x∈[0，π]，所以x＝，所以x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，且f＝－sin＝－1，f(0)＝0，f(π)＝π，所以函数f(x)在区间[0，π]上的最大值、最小值分别为π和－1.故选C.答案：C2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上

2、的最大值为3，则a的值为(　　)A．0B．1C．2D．－1解析：f′(x)＝3x2－2x－1，若f′(x)＝0，则x＝－或x＝1，又因为f＝a＋，f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，则a＋2＝3，则a＝1.故选B.答案：B3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　)A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，所以F′(x

3、)＝f′(x)－g′(x)＜0.所以F′(x)＜0，所以F(x)在[a，b]上递减，所以F(x)max＝f(a)－g(a)．故选A.答案：A4．已知函数f(x)＝＋lnx－1(a＞0)在定义域内有零点，则实数a的取值X围是(　　)A．(－∞，1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：函数f(x)定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)＝＋lnx－1(a＞0)在定义域内有零点，所以a＝x－xlnx有解，令h(x)＝x－xlnx所以h′(x)＝－lnx，所以h(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)，所以h(

4、x)max＝h(1)＝1.答案：B5．已知函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值X围为(　　)A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]解析：因为函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，所以f(x)＝ex－x＋a的最小值大于零，令f′(x)＝ex－1＝0，得x＝0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)＝ex－x＋a的最小值为f(0)＝1＋a，因为1＋a＞0，所以a＞

5、－1.答案：A6．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.若x＝3是f(x)的极值点，则f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值分别为________．解析：由题意知f′(x)＝3x2－2ax＋3＝0的一个根为x＝3，可得a＝5，所以f′(x)＝3x2－10x＋3，f′(x)＝0的根为x＝3或x＝(舍去)，又f(1)＝－1，f(3)＝－9，f(5)＝15，所以f(x)在x∈[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.答案：－9,157．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值X围是_

6、_______．解析：f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值．当a＞0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f(x)单调递减，所以当＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0,1)内有最小值．答案：(0,1)8．已知函数f(x)＝x＋xlnx，若k∈Z，且k(x－1)＜f(x)对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为________．解析：因为x＞1，所以由题意得k＜＝对任意x＞1恒成立．令h

7、(x)＝，则h′(x)＝，令φ(x)＝x－lnx－2(x＞1)，则φ′(x)＝1－＝＞0，所以函数φ(x)在(1，＋∞)上单调递增．又φ(3)＝1－ln3＜0，φ(4)＝2－2ln2＞0，所以存在x0∈(3,4)，使得φ(x0)＝x0－2－lnx0＝0，因此当x∈(1，x0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝x0时，h(x)有极小值，也为最小值，且h(x)min＝h(x0)＝＝＝＝x0∈(3,4)．所以k≤3.所以整数k的最大值是3.答案：39．已知函数

8、f(x)＝x3＋3ax2.(1)若a＝－1，求f(x)的极值点和极值；(2)求f(x)在[0,2]上的最大值．解析：(1)a＝－1时，f(x)＝x3－3x2，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．令f′(x)＞0，解得x＞2或x＜0；令f′(x)＜0，解得0＜x＜2，所以f(x)在(－