高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、1．3.3　函数的最大(小)值与导数函数的最大(小)值下图为y＝f(x)，x∈的图象．问题1：观察上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：结合图象判断，函数y＝f(x)在区间上是否存在最大值和最小值？若存在，分别为多少？提示：存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．问题3：函数y＝f(x)在上的最大(小)值一定是其极值吗？提示：不一定，也可能是区间端点的函数值．问题4：怎样确定函数f(x)在上的最小值和最大值？提示：比较极值与区间端点处

2、的函数值，最大(小)的是最大(小)值．1．函数y＝f(x)在区间上的最值一般地，如果在区间上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间上的最值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值与最值的区别与联系(1)区别①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较，即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者．

3、②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得．(2)联系如果在区间(a，b)上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点，那么该极值点就是最值点，这里区间(a，b)可以是无穷区间．求函数的最值　求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈；(2)f(x)＝x2－(x＜0)．　(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－(－，－1)－1(－1,1)1(1,3)3f′(x)－0＋0－

4、f(x)0极小值极大值－18所以x＝1和x＝－1是函数在上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－)＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋，令f′(x)＝0，得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,0)f′(x)－0＋f(x)极小值所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．利用导数求函数最值的方法(1)若函数y＝f(x)的图象是一条连续

5、不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点．(2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在区间上的最值．解：f′(x)＝－x，令f′(x)＝0，即－x＝0，得x＝－2或x＝1.又∵x＋1＞0，∴x＞－1，∴x＝－2舍去．∵f(0)＝0，f(1)＝ln2－，f(2)＝ln3－1，∴该函数在区间上的最大值为l

6、n2－，最小值为0.由函数的最值确定参数的值　若f(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间上的最大值为28，求k的取值范围．　由f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，得f′(x)＝3x2＋6x－9.令f′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)28－4当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而f(2)＝3

7、方法已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a＞0且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可

8、知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在上的最大值，∴f(