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《高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数学案新人教A版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.3函数的最大（小）值与导数一、课前准备1．课时目标（1）了解函数最值的意义，了解最值与极值的区别和联系.（2）会求闭区间上函数的最大值和最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.2．基础预探(1)函数的最大值与最小值：在闭区间上图象连续不断的函数在上最大值与最小值．(2)利用导数求函数的最值的基本步骤设函数在在（a,b）内可导，在闭区间上图象是的，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：①求在内的；②将的各极值与比较，得出函数在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.二、学习引领对于函数的最值问题，应
2、该注意以下几点：1.依据最值的含义,在闭区间上图象连续不断的函数，在上,既有最大值又有最小值．2.在开区间内图象连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值.3.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．4.函数在闭区间上的图象连续不断，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数在上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图象却不是连续不断的,如图所示.5.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不
3、止一个，也可能一个没有.6.若函数f(x)只有一个极值，则必为最值.若函数f(x)在闭区间[a,b]上递增，则，；若函数f(x)在闭区间[a,b]上递减，则，.三、典例导析题型一用导数求函数的最值例1已知a为实数，,若，求在[－2,2]上的最大值和最小值.思路导析：先求导,再由求实数a.令,求极值点和极值,最后比较大小求最值.解:由原式得∴由得,此时有.由得或x=－1.当变化时，的变化如下表-递增极大值递减极小值递增所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为规律总结：事实上,用导数求一些非基本初等函数的最值问题,是
4、求函数极值的进一步深入.当求得函数在一个闭区间上的极值后,再与区间端点的函数值进行大小比较,即可求得最值,所以其关键步骤,还是求函数极值.变式训练1设函数.试求函数在区间上的最大值.题型二由函数最值求参数的取值或取值范围例2已知函数，其中．若函数在处取得最大值，求实数的取值范围．思路导析:求实数的取值范围,一般需要找到关于的等价不等式,通过解不等式,得到的范围.依据函数的特点,判断函数取得最值的可能时刻,并求出可能的表达式,最后依据最值的意义得不等式,解不等式得解.解:由题意知,.则.令，即.①由于，可设方程①的两个根
5、为，，由①得.由于所以，不妨设，．当时,为极小值,所以在区间上,在或处取得最大值；当≥时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为.综上，函数只能在或处取得最大值．又已知在处取得最大值，所以≥,即≥，解得≤，又因为，所以（］．规律总结:上述问题中,判断取得最值的时刻,用参数a表示可能的最值，是解决该类问题的关键.等价转化是主要解题过程.变式训练2已知函数在内有最小值.(1)求的取值范围;(2)函数在内能否有最大值？若能,求出的取值范围,若没有,说明理由.题型三实际问题中的函数最值例3为倡导环保低碳生活,同时增加企业利润
6、,某低碳科技企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在2016年内,预计年销量(万件)与广告费(万元)之间的函数关系为,已知生产此产品的年固定投人为3万元，每生产l万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的50％”之和.年利润=年收入―年成本―年广告费.(1)试将年利润(万元)表示为年广告费(万元)的函数.(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?思路导析:依据题设要求,将年利润(万元)表示为年广告费(万元)的函数,判断该函数的极值,并求最值,回答实际问题.解：(
7、1)由题意，每年产销万件,共计成本为万元,销售收入是.．故所求的函数关系式为.(2)由(1)可得：,令，则或(舍去).又，．又在上只有一个极值点，．所以每年广告费投入7万元时,企业年利润最大．规律总结:依题意建立目标函数,是解决该类问题的关键步骤.当该目标函数为简单非基本初等函数时,一般通过求导研究该函数的性质,判断取得最值的时刻,求得最值.在实际问题中,若只有一个极值点,则该极值点为最值点.变式练习3制作一个圆柱形锅炉,容积为两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积价格为元,当造价最低时,锅炉底面半径
8、与锅炉高的比是（）A.B.C.D.四、随堂练习1．下列说法中正确的是（）A.函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值D.若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极
