上海交大数值分析课件数值分析4-31

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1、第四章数值积分与数值微分§3复化求积公式一、复化求积法的思想二、几种特殊的复化求积公式三、例题一、复化求积法的思想前面已经指出高阶牛顿—柯特斯公式是不稳定的，因此不能用提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积法。与插值多项式类似定义：复化求积法设将积分区间[a,b]划分为n等分，步长，分点为复化求积法就是先用低阶的牛顿—柯特斯公式求得每个子区间[xk,xk+1]上的积分值Ik，然后再求和，用作为所求积分I的近似值。即二、几种

2、特殊的复化求积公式根据在每个小区间上所用低阶求积公式的不同，复化求积公式有如下三种：1.复化梯形公式2.复化辛甫生公式3.复化柯特斯公式1.复化梯形公式每个小区间[xk，xk+1]上梯形公式是整个区间上的复化梯形公式是即下面求复化梯形公式的积分余项由于且故存在使所以复化梯形公式的积分余项为即2.复化辛甫生公式记每个小区间[xk，xk+1]的中点为该小区间上的辛甫生公式为整个区间上的复化辛甫生公式是且积分余项为3.复化柯特斯公式如果将每个小区间[xk，xk+1]四等分，内分点依次记为则相应地可得复化柯特斯公式

3、。且复化柯特斯公式的积分余项为注：其它牛顿—柯特斯公式亦可用类似的手续加以复化。显然，复化的牛顿—柯特斯公式仍然是机械求积公式。举例对于函数，试利用下表计算积分xf(x)011/80.99739781/40.98961583/80.97672671/20.95885105/80.93615563/40.90885167/80.877192510.8414709解将积分区间[0,1]划分为8等分，应用复化梯形公式三、例题将积分区间[0,1]划分为4等分，应用复化辛甫生公式求得积分准确值I=0.9460831复

4、化辛甫生公式精度优于复化梯形公式比较上面两个结果T8与S4，它们都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却相差很大，举例如果用复化梯形公式计算积分的近似值，并要求余项满足则至少要把区间[1，2]分为多少等份？解对于，已知根据复化梯形公式的余项公式，应有由此解得所以即至少要把区间[1，2]分为79等份。对本例题的进一步思考：h如何给出？前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之有效的，但使用前必须给出合适的步长h，如何给出？h太小则计算量增加h太大则精度不满足采用变步长的计算方案作业：习题6，7