有趣的数学巧计妙算.doc

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1、有趣的数学巧计妙算--------均值定理的应用发现襄阳市南漳县职教中心张丽：很久以前有一个心眼很坏的地主。到年底了，他不想给长工发工资，就想了一个坏主意。他对长工说：“我家有很多地，现在老爷想给你们分一些当一年的工钱，但是我有一个条件，你们只能用我给的这根100米长的绳子去圈一个长方形，最后圈的多少就给多少？如果你来圈你会怎么圈？•可以把这个故事改变成一个数学题。•例1：一条长为100米的绳子，用它围成一个矩形，问它的长宽各等于多少时，矩形的面积最大？•分析：矩形的面积=长X宽•AB•••CD•解:设长方形的长为X米,宽

2、为Y米,则:•X＋Y=50•又因为X+Y≥2√XY所以XY≤(X+Y)/2=625n例1：已知直角三角形的周长为定值a，求它面积的最大值。分析：要求直角△ABC的面积，只需要两条直角边就可以了。A§BC§解：设直角边AB为X,BC为Y.则：AC=√X2+Y2§∴a=X+Y+√X2+Y2≥2√XY+√2XY=(2+√2)√XY§即:a≥(2+√2)√X.Y§所以XY≤(3-2√2)a2所以S=1/2XY≤(3-2√2)a2当且仅当X=Y=(2-2√2)a.时,面积有最大值.v2：把边长为a的正方形铁皮四个角各剪去一个大小相同

3、的小正方形，然后把剩余的折成一个无盖铁盒，求小正方形边长为多少时，盒子的容积最大？解：设小正方形的边长为X，盒子容积为Y,则：Y=X(a-2X）2=1/4X4X(a-2X)2≤1/4（4X+a-2X+a-2X）/3=1/4（2a/3)3=2a3/27当且仅当4X=a-2X，即X=a/6时，Y有最大值2a3/27