2020_2021学年高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法课时素养评价含解析北师大版选修2_2.doc

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1、课时素养评价六　数学归纳法(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成(　　)A.假设n=2k+1(k∈N+)时正确，再推n=2k+3时正确B.假设n=2k-1(k∈N+)时正确，再推n=2k+1时正确C.假设n=k(k∈N+)时正确，再推n=k+1时正确D.假设n=k(k∈N+)时正确，再推n=k+2时正确【解析】选B.因为n为正奇数，所以证明时，归纳假设应写成：假设当n=2k-1(k∈N+)时正确，再推出当n=2k+1时正确.2.设f(x)是定义在正

2、整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总能推出f(k+1)≥k+2成立，那么下列命题总成立的是(　　)A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立【解析】选D.当f(k)≥k+1成立时，总能推出f(k+1)≥k+2成立，说明如果当k=n时，f(n)≥n+1成立，那么当k=n+1时，f(n+1)≥n+2也成立，所以如果当k=4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f

3、(k)≥k+1也成立.3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为(　　)A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23【解析】选D.当n=1时，左边=1+2+22+23.4.对于不等式≤n+1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n=1时，≤1+1，不等式成立.(2)假设n=k(k∈N*)时，不等式成立，即

4、+1的推理不正确【解析】选D.n=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)5.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时，第一步的验证为___________________________________________________________. 【解析】当n=1时，左边≥右边，不等式成立，因为n∈N*，所以第一步的验证为n=1的情形.答案：当n=1时，左边=4，右边=4，左边≥右边，不等式成

5、立6.已知f(n)=1+++…+(n∈N+)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)比f(2k)多的项为_________. 【解析】f(2k+1)-f(2k)=1+++…+-=++…+.答案：++…+7.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=_________；当n>4时，f(n)=_________(用含n的代数式表示). 【解析】如图，4条直线有5个交点，则f(4)=5.由f(3)=2，f(4)=f(3)+3，…，f(n-1)=f(n-2)

6、+n-2，f(n)=f(n-1)+n-1，累加可得f(n)=2+3+…+(n-2)+(n-1)=(n-2)(n-1+2)=(n-2)(n+1).答案：5　(n-2)(n+1)三、解答题8.(15分)用数学归纳法证明·…·=(n≥2，n∈N+).【证明】(1)当n=2时，左边=1-=，右边==，所以左边=右边，所以n=2时等式成立.(2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时等式成立，即·…·=，那么当n=k+1时，·…·==·==，即当n=k+1时等式成立.综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N+等式恒成立.【加练·固】用数学归纳法证明：12-22+

7、32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).【证明】(1)当n=1时，左边=12-22=-3，右边=-1×(2×1+1)=-3，所以左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(n≥1，n∈N+)时等式成立，即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.则当n=k+1时，左边=12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+-=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)=右边，所以当n

8、=k+1时，等式成立.由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立.(15分钟·30分)1.(5分)用数学归纳法证明“n