2021届高考数学二轮经典深度解读专题5 导数与函数的单调性、极值和最值（解析版）.docx

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1、专题5导数与函数的单调性、极值和最值1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f (x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f (x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f (x)在(a，b)内是常数函数2．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f (x0)为极大值f (x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2

2、)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．题型一不含参函数的单调性1．函数的单调递增区间是_______．【答案】【解析】函数的定义域为，且，令，得.因此，函数的单调递增区间为，故答案为.2．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】，令，得，即函数的单调递增区间为，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得；故填.【方法指导】确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域．(2)求f′(x)

3、．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二含参数的函数的单调性3．若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【解析】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：4．若函数在区间上是减函数，则的最大值为_______________【答案】【解析】因为函数在区间上是减函数，所以在区间上恒成立，所以，即，即，令，，则，，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：.【方法指导】(1)研

4、究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．题型三函数单调性的应用命题点1　比较大小或解不等式5．已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，令，解得，则当时，，单调递减，，，且，，.故选：D.6．已知、满足，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】令，其中，则，当时，.所以，函数在区间上单调递增，，，即，即，即，可得，所以，.故选：C.命题点2　根据函数单调性求参数7．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C

5、．D．【答案】B【解析】由题意，，解得，则，则当时，，即恒成立，令，则，当时，，时，，所以在上是减函数，在是增函数，，又因为当时，取得最大值1，所以当时，取得最大值，所以.故选：B.8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由题意可知在恒成立，即恒成立，设，时，，为减函数；时，，为增函数；的最小值为，所以，故选：A.【方法指导】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都

6、有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．题型四用导数求解函数极值问题命题点1　根据函数图象判断极值9．函数的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数在区间内单调递增；②函数在区间内单调递减；③函数在区间内单调递增；④当时，函数有极大值；⑤当时，函数有极大值；则上述判断中正确的是________．【答案】③⑤【解析】对于①，当时，单调递减，当时，单调递增，所以①错；对于②，当时，单调递增，当时，单调递减，所以②错；对

7、于③，当时，单调递增，所以③对；对于④，当时，单调递增，故当时不是极大值，所以④错；对于⑤，当时，单调递增，当时，单调递减，故时函数取得极大值，所以⑤对．故答案为：③⑤.10．设定义在R上的连续函数的导函数为，已知函数的图象（如图）与x轴的交点分别为，，.给出下列四个命题：①函数的单调递增区间是，；②函数的单调递增区间是，；③是函数的极小值点；④是函数的极小值点.其中，正确命题的序号是__________.【答案】②④【解析】由函数和图象可得，当时，，得，所以函数单调递增，当时，，得，所以函数单调递减，当时，，得，所以函数单调递减，当时，，得，所以函数单调递增，