2021届高考数学二轮经典深度解读专题5 导数与函数的单调性、极值和最值(解析版).docx

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1、专题5导数与函数的单调性、极值和最值1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y=f (x)在区间(a,b)上可导f′(x)>0f (x)在(a,b)内单调递增f′(x)<0f (x)在(a,b)内单调递减f′(x)=0f (x)在(a,b)内是常数函数2.函数的极值与导数条件f′(x0)=0x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0图象极值f (x0)为极大值f (x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2

2、)若函数f (x)在[a,b]上单调递增,则f (a)为函数的最小值,f (b)为函数的最大值;若函数f (x)在[a,b]上单调递减,则f (a)为函数的最大值,f (b)为函数的最小值.题型一不含参函数的单调性1.函数的单调递增区间是_______.【答案】【解析】函数的定义域为,且,令,得.因此,函数的单调递增区间为,故答案为.2.若函数在区间上是单调递增函数,则实数的取值范围是.【答案】【解析】,令,得,即函数的单调递增区间为,又因为函数在区间上单调递增,所以,解得;故填.【方法指导】确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域.(2)求f′(x)

3、.(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.题型二含参数的函数的单调性3.若函数在上递增,则的取值范围___________.【答案】.【解析】由函数,所以,因为函数在上递增,所以在上恒成立,令,所以在恒成立,令,所以,解得,故答案为:4.若函数在区间上是减函数,则的最大值为_______________【答案】【解析】因为函数在区间上是减函数,所以在区间上恒成立,所以,即,即,令,,则,,所以,,所以,当且仅当,即时,等号成立.所以的最大值为.故答案为:.【方法指导】(1)研

4、究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点.题型三函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式5.已知,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】设,则,令,解得,则当时,,单调递减,,,且,,.故选:D.6.已知、满足,则与的大小关系为()A.B.C.D.不能确定【答案】C【解析】令,其中,则,当时,.所以,函数在区间上单调递增,,,即,即,即,可得,所以,.故选:C.命题点2 根据函数单调性求参数7.已知函数,且,当时,恒成立,则a的取值范围为()A.B.C

5、.D.【答案】B【解析】由题意,,解得,则,则当时,,即恒成立,令,则,当时,,时,,所以在上是减函数,在是增函数,,又因为当时,取得最大值1,所以当时,取得最大值,所以.故选:B.8.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】,由题意可知在恒成立,即恒成立,设,时,,为减函数;时,,为增函数;的最小值为,所以,故选:A.【方法指导】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理:y=f (x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都

6、有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a,b)内的任一非空子区间上,f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.题型四用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值9.函数的导函数的图像如图所示,给出下列判断:①函数在区间内单调递增;②函数在区间内单调递减;③函数在区间内单调递增;④当时,函数有极大值;⑤当时,函数有极大值;则上述判断中正确的是________.【答案】③⑤【解析】对于①,当时,单调递减,当时,单调递增,所以①错;对于②,当时,单调递增,当时,单调递减,所以②错;对

7、于③,当时,单调递增,所以③对;对于④,当时,单调递增,故当时不是极大值,所以④错;对于⑤,当时,单调递增,当时,单调递减,故时函数取得极大值,所以⑤对.故答案为:③⑤.10.设定义在R上的连续函数的导函数为,已知函数的图象(如图)与x轴的交点分别为,,.给出下列四个命题:①函数的单调递增区间是,;②函数的单调递增区间是,;③是函数的极小值点;④是函数的极小值点.其中,正确命题的序号是__________.【答案】②④【解析】由函数和图象可得,当时,,得,所以函数单调递增,当时,,得,所以函数单调递减,当时,,得,所以函数单调递减,当时,,得,所以函数单调递增,

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