高中理科数学第一轮复习：第5课时 圆的方程.doc

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1、5．圆的方程一、内容归纳1.知识精讲.①圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为(-，-)，半径为，(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（4）半圆方程：等(5)圆系方程：i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0ii)过两圆C1：x2+y2+D1

2、x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2；（时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）(6)圆的参数方程圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为为参数圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为为参数②圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0。二、问题讨论例1、根据下列条件，求圆的方程。(1)和圆x2+y2=4相

3、外切于点P(-1，)，且半径为4；(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b)∵⊙O与⊙Q相外切于P∴O、P、Q共线，且λ==-=-由定比分点公式求得a=-3，b=3∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：=即x+y-1=0解方程组x+y-1=02x+3y+1=0得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=

4、OC

5、=5∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=

6、25(3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0①将P、Q点的坐标分别代入①，得：4D-2E+F=-20②D-3E-F=10③令x=0，由①得y2+Ey+F=0④由已知

7、y1-y2

8、=4，其中y1、y2是方程④的两根。∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤②、③、⑤组成的方程组，得D=-2D=-10E=0或E=-8F=-12F=4故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式

9、。例2、(优化设计P112例1)设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹。解：设动点P的坐标为（x，y）.由.化简得当，整理得.当a=1时，化简得x=0.所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴。【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。例3、(优化设计P112例2)一圆与y轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得的弦长为，求此圆的方程。解：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设圆方程为，由于直线截圆所得的弦长为，则有解得，故所求圆方程为或【评述】求圆的弦长方法（1）几何法：用弦心距，

10、半径及半弦构成直角三角形的三边（2）代数法：用弦长公式BOMACxy例4、已知⊙O的半径为3，直线与⊙O相切，一动圆与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。解：取过O点且与平行的直线为x轴，过O点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系。设动圆圆心为M（x,y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与切于点C，则AB为⊙O的直径，MO垂直平分AB于O。由勾股定理得即：这就是动圆圆心的轨迹方程【点评】建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求方程的形式较“整齐”备用题：例5、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点

11、P的轨迹。解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)。因为平行四边形对角线互相平分，故=，=从而x0=x+3y0=y-4N(x+3，y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：(-，)和(-，)[思维