质点运动学典型例题.docx

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1、......求解风吹气球时气球的运动情况....c......一气球以速率V0从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按Vxby增大，其....c......中b是正的常量，y是从地面算起的高度，x轴取水平向右的方向。试计算：(1)气球的运动学方程；(2)气球水平飘移的距离与高度的关系；(3)气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系。解：（1）取平面直角坐标系x0y，如图一，令t=0时气球位于坐标原点（地面），已知VyV0，Vxby.....c......显然，有yV0t.....c.....

2、.....c......（1）而dxdtbybV0t,dxxtbV0tdt,....c......对上式积分，bVt2dxbVtdt,得到000....c......x0.2（2）....c..........c......故气球的运动学方程为：rbV0t2i2V0tj.....c......(2)由（1）和（2）式消去t，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系....c......xb2V0y2.....c......（3）气球的运动速率....c......VV22Vxyb2

3、V2t22b2y22....c......0VV000气球的切向加速度....c......adVdtb2Vtb2t21b2Vy0.V0b2y22....c..........c......22222dVx2dVy222....c......而由anaa和aaxay()()dtdtbV0,可得....c......2abV0n.V0b2y22....c......由anV2，求得....c......V2(b2y2V2)3/2....c......00nabV2小船船头恒指向某固定点的过河情

4、况一条笔直的河流宽度为d，河水以恒定速度u流动，小船从河岸的A点出发，为了到达对岸的O点，相对于河水以恒定的速率V（V>u）运动，不论小船驶向何处，它的运动....c......方向总是指向O点，如图一，已知AOr0,AOP0,试求：....c......小船的运动轨迹。若O点刚好在A点的对面（即AOd），结果又如何？....c......解：选定极坐标系，原点为O点，极轴为OP。在任一时刻t，小船的位置为（r,），小船速度的径向分量和横向分量....c......rVdrdtVucosVrddt

5、usin....c......两式相除，得到rd....c......dtrddrdrdtusinVucos....c......分离变量，....c......drVrucosdusin(Vusinctg)d,....c......积分后，得到....c......rdr(Vctg)d....c......r0r0usin....c..........c......lnrr0V(lnutan2lntan0)2(lnsin0lnsin)....c..........c......tgl

6、n[[tg2]V/u02(sinsin0)],....c..........c......tg既r[r0tg2]V/u02(sinsin0).....c......这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。....c......若O点刚好在A点的对面，则代入，得r0d,0，2....c......rdsin(tg)V/u.2....c......求解小环对地的运动情况一细杆绕端点O在平面匀角速旋转，角速度为，杆上一小环（可看作质点）相对杆作匀速运动，速度为u.设t0时小环位于杆的端点O，求：小环的

7、运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。....c......解：本题采用极坐标系较为方便。取t=0时细杆的位置为极轴，此时小环位于端点O.任意时刻t，小环的位置rut,t.这就是小环在极坐标系中的运动学方程。消去t，便得小环的轨迹方程：ru,式中u为常量，r与成正比，小环的轨迹为阿基米德螺线，如图一。在任意时刻，小环的径向速度rVdru,dt....c......横向速度速度的大小VrdrdtV22VrVut,u2(r)2u12t2.....c......速度的方向指向阿基米德线的切线方向。小环的径

8、向速度的大小不变，横向速度随r的增大而增大。任意时刻，小环的加速度....c......adVdtd(ur0rdt0)，....c......r0和0为径向和横向的单位矢量，则....c......dr0audtud0dr0dtdr0rd0dtrdr0....c......dtdtdt200rr2u....c......既径向加速度ar2u2t;....c..........c.....