几种特殊类型函数的积分.docx

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1、......几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数R(x)称为有理函数，即.....c......012R(x)P(x)axnaxn1axn2an1xan（1）.....c......012Q(x)bxmbxm1bxm2bm1xbm.....c...........c......其中n和m是非负整数；a0,a1,a2,,an及b0,b1,b2,,bm都是实数，并且.....c......a00,b00．当（1）式的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m，即nm时，称为有理真分式；当nm时，称为有

2、理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一.....c......个真分式之和的形式．例如x4x1x21(x21)x2．x21.....c......多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．.....c......设有理函数（1）式中nm，如果多项式Q(x)在实数围能分解成一次因式.....c......和二次质因式的乘积：.....c......Q(x)b0(xa)(xb)(x2pxq)(x2rxs)．.....c...........c......其中a,,b,p,q,,r,s为实数；p24q0，，r2

3、4s0；,,,,,.....c...........c......为正整数，那末根据代数理论可知，真分式P(x)Q(x)总可以分解成如下部分分式之.....c......和，即.....c......P(x)Q(x)A1(xa)A21(xa)AB1xa(xb).....c...........c......B2BM1xN1.....c......(xb)1xb(x2pxq).....c...........c......M2xN2MxNR1xS1.....c......(x2pxq)1x2pxq(x2rxs).....c...........c...

4、...(x2R2xS2rxs)1RxSx2rx．（2）s.....c...........c......其中Ai,,Bi,Mi,Ni,,Ri,Si都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一.....c......的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：（1）A，xa.....c......（2）2(xAa)k（k是正整数，k2），.....c...........c......（3）AxBx2pxq（p4q0），.....c...........c......（4）(x2AxBpxq)k（k是正整数，k22,p4q0）．

5、.....c......1.有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单.....c......分式的积分．（1）AdxxaA1d(xa)xaAlnxaC，.....c...........c......（2）Adx(xa)kA(xa)kd(xa)Ak1(x1C，a)k1.....c...........c......（3）AxBdxx2pxq（p24q0）．.....c...........c......将分母配方得x2pxq(xp)2(qp)，作变量代换uxp，则.....c......2242.....c..

6、.........c......xup,dxdu；由于p224q0,qp20，记qpa2，于是.....c......2AxBdxAxB4A(u2dx4p)B2du.....c......x2pxqp2(x2)(qAudup)4AAp2duu2a2.....c......u2a2u2a2BAp.....c......Aln(u22a2)2arctanuCaa.....c......Aln(x22pxq)2BAp4qp2arctan2xpC．4qp2.....c...........c......（4）(x2AxBpxq)kdx(k2,p24

7、q0)．.....c...........c......作变量代换uxp，并记qp224a2，于是BAp.....c......(x2AxBpxq)kdx(u2Aua2)kdu(u22a2)kdu．.....c...........c......其中第一个积分AAudu(u22k22A1C．.....c......(u2a2)k2a)d(ua)2(k1)(u2a2)k1.....c......第二个积分可通过建立递推公式求得．记Ik(u2du