2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第5讲导数及其应用.doc

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1、第5讲　导数及其应用【高考考情解读】　导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题．1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－

2、∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4．四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sinx)′＝cosx.(2)(cosx)′＝－sinx.(3

3、)(ax)′＝axlna(a>0，且a≠1)．(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1)．(5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(6)′＝(g(x)≠0).考点一　导数几何意义的应用例1　(1)过点(1,0)作曲线y＝ex的切线，则切线方程为________．(2)(2013·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．答案　(1)e2x－y－e2＝0　(2)4解析　(1)设切点为P(x0，ex0)，则切线

4、斜率为ex0，切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，又切线经过点(1,0)，所以－ex0＝ex0(1－x0)，解得x0＝2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0.(2)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax，C2在A处的切线的斜率为－＝－，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以(－)·3ax＝－1，即y0＝3ax，又ax＝y0－1，所以y0＝，代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±，将x0＝±，y0＝代入y＝ax3＋1(a>0)，得a＝4.(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P

5、不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋lnx相切于点P(1,4)，则b的值为________．(2)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.答案　(1)－1　(2)2解析　(1)由点P(1,4)在曲线上，可得a×12＋2＋ln1＝4，解得a＝2，故y＝2

6、x2＋2＋lnx．所以y′＝4x＋.所以曲线在点P处的切线斜率k＝y′

7、x＝1＝4×1＋＝5.所以切线的方程为y＝5x＋b.由点P在切线上，得4＝5×1＋b，解得b＝－1.(2)f′(x)＝sinx＋xcosx，f′()＝1，即函数f(x)＝xsinx＋1在点x＝处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以(－)×1＝－1，解得a＝2.考点二　利用导数研究函数的性质例2　(2013·广东)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.解　f′(x)＝3x2－2kx

8、＋1，(1)当k＝1时，f′(x)＝3x2－2x＋1＝32＋>0，∴f(x)在R上单调递增．(2)当k<0时，f′(x)＝3x2－2kx＋1，其图象开口向上，对称轴x＝，且过(0,1)点．①当Δ＝4k2－12＝4(k＋)(k－)≤0，即－≤k<0时，f′(x)≥0，f(x)在[k，－k]上单调递增．∴m＝f(x)min＝f(k)＝k，M＝f(x)max＝f(－k)＝－2k3－k.②当Δ＝4k2－12>0，即k<－时，令f′(x)＝0