等比数列的性质.docx

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1、.教学容【知识结构】1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公..比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：anan1=q（q≠0）..1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)..｛an｝成等比数列an1=q（nanN,q≠0....2隐含：任一项an0且q0..“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件．..3q=1时，{an}为常数2.等比数列的通项公式1:anaqn1(aq0)..11m11m3.等比数列的通项公式2:anaq(aq0)4.既是等

2、差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则..GbG2abGaGab，..反之，若G2=ab,则Gab，即a,G,b成等比数列G..∴a,G,b成等比数列G2=ab（a·b≠0）..5．等比数列的性质：若m+n=p+k，则amanapak在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？..由定义得：amaqm1aaqn1aaqp1aka1qk1....1aman

3、2mn2aq1，apak211nppk2a1q..则amanapak..7．等比数列的增减性：当q>1,a1>0或01,a1<0,或00时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}..是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列;【热身练习】求下列各等比数列的通项公式：..1.a=2,a=82.a=5,且2a=3a3.a=5,且an1n..1n解：1.a331n1n11aq2q24q2ann1..an(2)2n12n或a(2)(2)n1(2)n..2.qan13an

4、2又：a15an5(3)n12..3.an1nann1a21,a32,a12a23,ann1an1n....abab(qq)n112..15以上各式相乘得：ana1nn【例题精讲】例1已知an,bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列.证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;的首项为b1，公比为q2，那bn么数列anbn的第n项与第n+1项分别为：a1q1b1q2与a1q1n1n1nb1q2即为a1b1(q1q2)与a1b1(q1q2)nn1nan1n1bab(qq)n1112qq.nn1112..它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以

5、q1q2为公比的等比数列...bcabc3b3abb2bc(abbcca)23333..例2已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证：abc3,abbcca33,abc也成等比数列证明：由题设：b=ac2得：a3abc∴abc3,abbcca33,abc也成等比数列例3(1)已知{an}是等比数列，且an0,a2a42a3a5a4a625,求a3a5(2)a≠c,三数a,1,c成等差数列，a2,1,c2成等比数列，求ac解：(1)∵{an}是等比数列，a2c2....∴aa＋2aa＋aa＝(a＋a)2＝25,..24354635又an>0,∴a3＋a5＝

6、5;2(2)∵a,1,c成等差数列,∴a＋c＝2,..2又a,1,c2成等比数列,∴ac2＝1,有ac＝1或ac＝－1,..当ac＝1时,由a＋c＝2得a＝1,c＝1,与a≠c矛盾，..∴ac＝－1,a2c2(ac)22ac6..ac1∴a2c23.012n1..例4已知无穷数列105,105,105,105,，..求证：（1）这个数列成等比数列（2））这个数列中的任一项是它后面第五项的1，10（3））这个数列的任意两项的积仍在这个数列中..证：（1）anan1n1105n21051105（常数）∴该数列成等比数列....（2）anan5n11

7、05n41051011，即：a1ann51010..p1q1pq2..（3）apaq105105105，∵p,qN，∴pq2..∴pq11且pq1N，..∴10pq25n1105，（第pq1项）....例5设a,b,c,d均为非零实数，a2b2d22bacdb2c20，..求证：a,b,c成等比数列且公比为d..证一：关于d的二次方程a2b2d22bacdb2c20有实根，....∴4b2ac24a2b2b2c20，∴b2ac20....则必有：b2ac0，即b2ac，∴a,b,c成等比数列....设公比为