资源描述：
《直线和圆锥曲线常考题型(2).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式：xx1x2,yy1y2，其中（x,y）是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。222、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线ykxb(k0)上，则y1kx1b，y2kx2b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB(xx)2(yy)2(xx)2(kxkx)2(1k2)(xx)21212121212(1k2)[(x1x2)24x1x2]或者AB(x1x2)2(y1y2)2(1x11x2)2(y1y2)2(11)(y1y2)2kkk2(11y2)2
2、4y1y2]。k2)[(y13、两条直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2垂直：则k1k21rrv1g0两条直线垂直，则直线所在的向量4、韦达定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不同的根x1,x2，则xx2b,xx112a常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线l:ykx1与椭圆C:x2y21始终有交点，求m的取值范围4m解：根据直线l:ykx1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:x2y21过动点（0，4ml:ykxx2y21始终有交点，则m1，且m4，即1m且m4。1和
3、椭圆C:m4规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：l:ykx1过定点（0，1）l:yk(x1)过定点（1，0）l:y2k(x1)过定点（1，2）c。am),且m4，如果直线题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：y2x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。1解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线l:yk(x1)，k0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。由yk(x1)y2x消y整理，得k2x2(2k2
4、1)xk20①由直线和抛物线交于两点，得(2k21)24k44k210即0k21②4x1x22k21由韦达定理，得：k2,x1x21。则线段AB的中点为(2k21,1)。2k22k线段的垂直平分线方程为：y11(x12k22)2kk2k令y=0,得x011，则E(11,0)2k222k22QABE为正三角形，113E(22,0)到直线AB的距离d为AB。2k2QAB(xx)2(yy)2121214k2g1k2k21k2d2k314k2g1k21k22k22k解得k39满足②式135此时x0。3题型三：动弦过定点的问题x2y21(a
5、b0)的离心率为3例题3、已知椭圆C：2b2，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。a22（I）求椭圆的方程；（II）若直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率ec32,则得c3,b1。a，a2从而椭圆的方程为x2y214（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为yk1yk1(x2)(x2)，由24y2消y整理得x4(14
6、k12)x216k2x16k1240Q2和x1是方程的两个根，2x116k12414k21则x28k12，y14k1，114k1214k122即点M的坐标为(28k12,4k12)，14k114k1同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点8k222,4k22)N的坐标为(24k14k212Qypk1(t2),ypk2(t2)k1k22，k1k2tQ直线MN的方程为：yy1y2y1，xx1x2x1令y=0，得xx2y1x1y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x4y1y2t4又Qt2，02tQ椭圆的焦点为(3,0)4433，即t3t3
7、43故当t时，MN过椭圆的焦点。3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：x2y21(ab0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中a2b2uuuruuur0，uuuruuurACBCBC2AC心O，且g，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x3对称，求直线PQ的斜率。uuuruuur解：(I)QBC2AC，且BC过椭圆的中心OuuuruuurOCACuuuruuur0QACgBCACO2又QA(23,0)点C
8、的坐标为(3,3)。QA(23,0)是椭圆的右顶点，a23，则椭圆方程为：x2y2112b2将点C(3,3)代入方程，得b24，x2y2椭圆E的方程为1124(II)Q直线PC与直线QC关于直线x3对称，设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为k，
