(完整版)圆锥曲线大题归类 .doc

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1、圆锥曲线大题归类一．定点问题2x例1.已知椭圆C：2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：2＋ya(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；→→(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP·AQ＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．[解析](1)圆M的圆心为(3,1)，半径r＝3.由题意知A(0,1)，F(c,0)，x直线AF的方程为＋y＝1，即x＋cy－c＝0，c

2、3＋c－c

3、由直线AF与圆M相切，得＝3，c2＋1解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3，2x2故椭圆C的方程为＋y＝1.3(2)方

4、法一：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，1故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－＋1.xky＝kx＋1，联立x2整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，＋y2＝1，3－6k解得x＝0或x＝，21＋3k－6k1－3k2故点P的坐标为(2，2)，1＋3k1＋3k6kk2－3同理，点Q的坐标为(2，2)k＋3k＋3k2－31－3k2－k2＋1＋3k2k2－13∴直线l的斜率为＝，6k－6k4k－k2＋31＋3k2k2－16kk2－3∴直线l的方程为y＝4k(x－2＋3)＋2＋3，kkk2－11即y＝x－.4k21∴

5、直线l过定点(0，－)．2方法二：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y＝kx＋t(t≠1)，y＝kx＋t，联立x22＋y＝1，3整理得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0.x＋x＝－6kt，121＋3k2设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则(*)3t2－1x1x2＝2，1＋3k由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)×3(t2－1)>0，得3k2>t2－1.由·＝0，得·＝(x1，y1－1)·x2(，y2－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)2＝0，1将(*)代入，得t

6、＝－，21∴直线l过定点(0，－)．2例2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.•求抛物线C的方程；1•若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．2p[解析](1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p2＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(1)证明：①当直线AB的斜率不存在时，22tt设A(，t)，B(，－t)．441因为直线OA，OB的斜率之积为－，2t－t12所以2·2＝－，化简得t＝32.tt244所以A(8，t)

7、，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，y2＝4x，联立得化简得ky2－4y＋4b＝0.y＝kx＋b，4b根据根与系数的关系得yAyB＝，k1，所以yA·yB1因为直线OA，OB的斜率之积为－2xAx＝－，B222yAyB即xAxB＋2yAyB＝0.即·＋2yAyB＝0，444b解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，k所以y＝kx－8k，y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．圆锥曲线中定点问题

8、的两种解法•引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．•特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．二．定值问题22xy例3.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，ab0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.导学号30072628(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2定值．[解析](1)

9、依题意，由已知得c＝2，则a2－b2＝2，2x＋y2＝1.由已知易得b＝

10、OM

11、＝1，所以a＝3，所以椭圆的方程为366(2)①当直线l的斜率不存在时，不妨设A(1，)，B(1，－)，则k1＋k233662－2＋33＝＋＝2为定值．22②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，y＝kx－1，由x2得(3k2＋1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，＋y2＝1，3依题意知，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，6k23k2－3则x1＋x2＝21，x1x2＝21，又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)

12、，3k＋3k＋所以k＋2－y1＋2－y22－y13－x2＋2－y23－x11k2＝＝3－x13－x23－x13－x2[2－kx1－1]3－x2＋[2－kx2－1]3