圆锥曲线大题归类

《圆锥曲线大题归类》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、圆锥曲线大题归类一．定点问题例1.已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且·＝0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．[解析]　(1)圆M的圆心为(3,1)，半径r＝.由题意知A(0,1)，F(c,0)，直线AF的方程为＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直线AF与圆M相切，得＝，解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)方法一：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的

2、方程为y＝－x＋1.联立整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝，故点P的坐标为(，)，同理，点Q的坐标为(，)∴直线l的斜率为＝，∴直线l的方程为y＝(x－)＋，即y＝x－.∴直线l过定点(0，－)．方法二：由·＝0知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y＝kx＋t(t≠1)，联立整理得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则(*)由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)×3(t2－1)>0，得3k2>t2－1.由·＝0，得·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(t－1)(x1＋

3、x2)＋(t－1)2＝0，将(*)代入，得t＝－，∴直线l过定点(0，－)．例2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．[解析]　(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A(，t)，B(，－t)．因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.

4、②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky2－4y＋4b＝0.根据根与系数的关系得yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0.即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，

5、再证明该定点与变量无关．二．定值问题例3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2定值．[解析]　(1)依题意，由已知得c＝，则a2－b2＝2，由已知易得b＝

6、OM

7、＝1，所以a＝，所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，不妨设A(1，)，B(1，－)，则k1＋k2＝＋＝2为定值．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1

8、)，由得(3k2＋1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，依题意知，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，所以k1＋k2＝＋＝＝＝＝＝＝2，综上，得k1＋k2为定值2.例4（2016北京理科）求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三．探索性问题例5.(2015·新课标全国Ⅱ，12分，理)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的

9、中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点(，m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．[解析]　(1)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜