椭圆中与面积有关的取值范围问题专题.docx

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1、椭圆中与面积有关的取值范围问题　　　范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.例题：如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，左准线方程为x＝－2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋y2＝1，点

2、A是椭圆上异于长轴端点的任一点，F为椭圆的右焦点，直线AF与椭圆交于B点，直线AO与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．变式2设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C：＋y2＝1上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(1)求的值；(2)求△ABQ面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C：＋y2＝1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x＝2上一动点(不在x轴上)，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1，S2分别为△A1SA2，△MSN的面积，求的最大值．串讲2已知点A

3、(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．　(2018·广西初赛改编)已知椭圆C：＋y2＝1，设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点P，Q，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．　(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，两条准线之间的距离为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的

4、左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．答案：(1)＋＝1；(2)y＝x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意得，＝，＝4，2分解得a＝2，c＝，所以b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.4分(2)解法1：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以点M为AB的中点.6分因为椭圆的方程为＋＝1，所以A(－2，0)．设M(x0，y0)，则B(2x0＋2，2y0)，所以x02＋y02＝，①＋＝1，②10分由①

5、②，得9x02－18x0－16＝0，解得x0＝－或x0＝(舍去)．把x0＝－代入①，得y0＝±，12分所以kAB＝±，因此，直线AB的方程为y＝±(x＋2)，即x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.14分解法2：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以点M为AB的中点.6分设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，由得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，所以(x＋2)[(1＋2k2)x＋4k2－2]＝0，解得xB＝，8分所以xM＝＝，10分yM＝k(xM＋2)＝，代入x2＋y2＝，得＋＝，化简得28k4＋k2－

6、2＝0，12分即(7k2＋2)(4k2－1)＝0，解得k＝±，因此，直线AB的方程为y＝±(x＋2)，即x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.14分例题答案：(1)＋y2＝1；(2)S∈.解析：(1)由题设知e＝，a2＝2c2＝b2＋c2，即a2＝2b2，将代入椭圆C的方程得到＋＝1，则b2＝1，a2＝2，所以椭圆C：＋y2＝1.(2)当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，易知△AOB的面积S＝.当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y＝kx，OB：y＝－x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx代入椭圆C得

7、到x2＋2k2x2＝2，所以x12＝，y12＝，同理x22＝，y22＝，△AOB的面积S＝＝.令t＝k2＋1∈[1，＋∞)，S＝＝，令u＝∈(0，1)，则S＝＝∈.综上所述，S∈.变式联想变式1答案：.解析：①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，B，则C.此时S△ABC＝×2×＝；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，联立化简得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有Δ＝16k4－4(2k2＋1)(2k2－2)＝8(1＋k2)，x1，2＝，所以AB＝·

8、x

9、1－x2

10、＝·＝2.(弦长公式)另一方面点O到直线y＝k(x－1)的距离d＝，因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d＝，∴S△ABC＝AB·2d＝··＝2＝2＜.综上，△ABC面积的最大值为.说明：O为AC中点，所以△ABC的面积是△OAB面积的两倍，而△OAB的面积可以用