备战2021届新高考数学（文）二轮复习易错题04 导数及其应用.docx

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1、备战2021届新高考数学二轮复习易错题易错点04导数及其应用易错点1：导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．易错点2：导数与函数的极（最）值求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数

2、在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．易错点4：导数与函数的零点研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。01导数与函数的单调性例1（202

3、0•天津卷）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．【警示】(Ⅰ)(i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【解析】(Ⅰ)(i)当k＝6时，，.可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即.(ii)依题意，.从而可得，整理可得：

4、，令，解得.当x变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；g(x)的极小值为g(1)＝1，无极大值.（Ⅱ）证明：由，得.对任意的，且，令，则.①令.当x＞1时，，由此可得在单调递增，所以当t＞1时，，即.因为，，，所以.②由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，故③由①②③可得.所以，当时，任意的，且，有.【叮嘱】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解

5、析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．1．（2014新课标Ⅱ）若函数在区间单调递增，则的取值范围是A．B．C．D．【解析】∵，∴，∵在单调递增，所以当时，恒成立，即在上恒成立，∵，∴，所以，故选D．2．（2020•全国1卷）已知函数.（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；【解析】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.02导数与函数的极（最）值例2．（2020•北京卷）

6、已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【警示】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【解析】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即.（Ⅱ）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.【叮嘱

7、】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。1．（2017新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则的极小值为A．B．C．D．1【解析】∵，∵，∴，所以，，令，解得或，所以当，，单调递增；当时，，单调递减；当，，单调递增，所以的极小值为，选A．2．(2018全国卷Ⅲ)已知函数．(1)若，证明：当时，；当时，；(2)若是的极大值点，求．【解析】(1)当时，，．设函数，则

8、．当时，；当时，．故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，．所以在单调递增．又，故当时，；当时，．(2)（i）若，由(1)知，当时，，这与是的极大值点矛盾．（ii）若