2020中考数学-二次函数培优专题：二次函数与圆综合.docx

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1、2020中考数学培优专题：二次函数与圆综合（含答案）例题1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为，若将经过A、C两点的直线沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC上的一点，设三角形ABP、三角形BPC的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设的半

2、径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，与两坐标轴同时相切？【答案】（1）因为沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，所以，，将代入，得，解得．所以直线AC为：因为抛物线的对称轴是直线，所以，解得.所以抛物线的函数表达式为：.（2）如图，过点B作于点D.因为，所以.过点P作轴于点E，则，所以.所以.所以.所以，解得.所以点P的坐标为.（3）存在，设点Q的坐标为①当与y轴相切时，有，即.当时，得，所以.当时，得，所以，②当与x轴相切时，有，即，当时，得，即，解得，所以当时，得，即，解得，所以，综上所述，存在符合条件的，其圆心

3、Q的坐标分别为，，，，探究：设点Q的坐标为.当与两坐标同时轴相切时，有.①当时，得，即，此时，所以次方程无解.②当时，得，即.解得.∴当的半径为时，与两坐标同时轴相切.例题1.在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM的长为半径作，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作的切线l，且l与x轴的夹角为？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保留根号）【答案】（1）设抛物线的解析式为，由题意，得，解得.所以抛物线的解析式为.（2）存在

4、，抛物线所以抛物线的顶点为，作抛物线和（如图）设满足条件的切线l与x轴交于点B，与相切于点C.连接MC，过点C作轴于点D.因为，，，所以，，.所以，所以.在中，，.所以，.所以.设切线l的解析式为，则可得，解得.所以切线BC的解析式为.由题意，解得，.所以点P的坐标为、.因为抛物线和都关于直线对称，则存在切线l关于对称的直线也满足条件.同样得到满足的点P关于和对称，则得到、.综上所述，这样的点P共有4个，、、、.例题1.如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC交于点E，与x轴交于点F．（1

5、）求直线BC的解析式．（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心、r为半径作．①当点P运动到点D时，若与直线BC相交，求r的取值范围；②若，是否存在点P使与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线中，令，得，解得，；令，得；∴，，；设直线BC的解析式为，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：；（2），；∴，；①过D作于G，则；∴，即；中，设，则，由勾股定理，得：，即：，解得；∴；故D、P重合时，若与直线BC相交，则，即；②存在符合条件的P点，且P点坐标为：，，，；过点F作于M；∵，

6、则；∴；分别过D、F作直线m、n平行于直线BC，则直线m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于x；所以P点必为直线m、n与抛物线的交点；设直线m的解析式为：，由于直线m与直线m与直线BC平行，则；∴，，即直线m的解析式为；同理可求得直线x的解析式为：；联立直线m与抛物线的解析式，得：，解得，；∴，；同理，联立直线n与抛物线的解析式可求得：，；故存在符合条件的P点，且坐标为：，，，．例题1.已知，如图4-1，抛物线经过点，，，其顶点为D．以AB为直径的交y轴于点E、F，过点E作的切线交x轴于点N．，．（1）求抛物线的解析式

7、及顶点D的坐标；（2）如图4-2，点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．图4-1图4-【答案】（1）圆的半径．连接ME，∵NE是切线，∴．在中，，．∴，，∴．∴，．∴点A、B的坐标分别为、．∵抛物线过A、B两点，所以可设抛物线解析式为：，又∵抛物线过点，∴，解得：．∴抛物线解析为：，∴当时，．即抛物线顶点D的坐标为．（2）连接AF、QF，在和中，由垂径定理易知：．∴，又，∴，∴，∴在中，（或利用）∴即：为定值．例题1.如图，已知点A的坐标是，点B的坐

8、标是，以AB为直径作，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，的平分线CD交于点D，连接BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得？如果存在，请求出点P的坐标；如果