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1、Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse第12讲随机变量的数字特征习题课教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。教学难点：随机变量函数的数学期望。教学时数：2学时教学过程：一、知识要点回顾1.随机变量X的数学期望E(X)对离散随机变量E(X)xip(xi)i若i1,2,，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。对连续随机变量E(X)xf
2、(x)dx假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。2.随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]，其中g(X)为实函数。对离散随机变量[(X)](xi)()Eggpxii对连续随机变量E[g(X)]g(x)f(x)dx假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。3.二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)为二元实函数。对离散随机变量[(,)](,)(,yj)EgXYgxiyjpxiij对连续随机变量E[g(X,Y)]g(x,y)f(x,y)dxdy假定
3、所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。4.数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）E(c)c,(c为常数)E(cX)cE(X),(c为常数)E(aXb)aE(X)b,(a,b为常数)E(XY)E(X)E(Y)nnE(ciXi)ciE(Xi)i1i1若X,Y相互独立，则E(XY)E(X)E(Y)。若X1,X2,,Xn相互独立，则E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)5.随机变量X的方差D(X)E{[XE(2X)]}E2(X2E(X),E(X都)存在。6.方差的性质D(c)0,(c为常数)D(cX)c2D(
4、X),(c为常数)D(aXb)a2D(X),(a,b为常数)若X,Y相互独立，则D(XY)D(X)D(Y)。n若X1,X2,,Xn相互独立，c1,c2,,cn为常数，则D(ciXi)i17.随机变量X的k阶原点矩k(X)E(Xk)随机变量X的k阶中心矩k(X)E{[XE(X)]k}易知，1(X)E(X),1(X)0,2(X)D(X)。E(Xn)。)E[2，X(这)里]假定nci2D(Xi)。i18.随机变量X与Y的协方差cov(X,Y)E{[XE(X)][YE(Y)]}E(XY)E(X)E(Y)D(aXbY)a2D(X
5、)b2D(Y)2abcov(X,Y),(a,b为常数)cov(X,Y)cov(Y,X)cov(aX,bY)abcov(X,Y),(a,b为常数)cov(XY,Z)cov(X,Z)cov(Y,Z)若cov(X,Y)0，则称X与Y不相关。若随机变量X与Y相互独立，则X与Y一定不相关，反之不成立。9.随机变量X与Y的相关系数R(X,Y)cov(X,Y)D(X)D(Y)
6、R(X,Y)
7、1YabX
8、R(X,Y)
9、110.切比雪夫不等式：若随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在，则对任意正数有PXE(X)D(X)2由切比雪
10、夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。后面两个定理是常用的大数定律。二、典型例题解析1.已知随机变量X的概率分布为X-201pi0.30.40.3求E(4X26)。分析由要点2，令g(X)4X26，代入公式即可。解E(4X23(4xi26)6)pii1220.360.4100.312注计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先求出随机变量的概率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算；一种是直接带入要点2种所列的公式。通常用后一种方法较简便。xy0x1,0y12.设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x
11、,y)其它，0求E(X),E(Y),D(X),D(Y),E(XY),cov(X,Y),R(X,Y)。分析题中前五项计算均可按要点3所列公式计算，后两项按要点8与9计算。解E(X)xf(x,y)dxdy1xdx1y)dy0(xx(x1)dx7010212又E(X2)x2f(x,y)dxdy11(xy)dyx2dxx2(x1)dx50010212所以D(X)E(X2)[E(X)]2572111212144按对称性有E(Y)7,D(Y)1112144E(XY)xyf(x,y)dxdy11xdxy(xy)dyx(x1)dx100
12、10233cov(X,Y)E(XY)1771E(X)E(Y)12121443R(X,Y)111111144121211注二维随机变量的许多计算都可归结为计算二维随机变量函数的数学期望，所以要点3所列公式应会灵活应用。3.填空(1)已知D(X)4,D(Y)1,R(X,Y)0.6，则D(3X2Y)____________
