泰勒公式及其应用(数学考研).doc

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1、..第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数f(x)在点x0处可微，则有：首先来了解f(x0x)f(x0)f(x0)x(x)这样当x1时可得近似公式f(x0x)f(x0)f(x0)x或f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，xx01即在x0点附近，可以用一个x的线形函数（一次多项式）去逼近函数f，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多

2、项式去替代可能是十分复杂的函数f．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量Word资料...(xx0)，如果要求误差不得超过104，用f(x0)f(x0)(xx0)去替代f(x)行吗？因Word资料...此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1Taylor公式0首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x的n次多项式在x0附近去逼近f，即令Word资料...f(x)a0a1(xx0)...an(xx)n（2.1）Word资料...0从几何上

3、看，这表示不满足在x0附近用一条直线（曲线yf(x)在点(x0,f(x0))的切线）Word资料...去替代y代它．f(x)，而是想用一条n次抛物线f(x)a0a1(xx0)...an(xx)n去替Word资料...我们猜想在点如何确定呢？(x0,f(x0))附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数a0，a1⋯anWord资料...假设f本身就是一个n次多项式，显然，要用一个n次多项式去替代它，最好莫过0它自身了，因此应当有Word资料...f(x)a0a1(xx0)...an(xx)nWord资料...于是得

4、：a0f(x0)求一次导数可得：a1f(x0)Word资料...又求一次导数可得：a200这样进行下去可得：f(x0)2!Word资料...af(x0)33!，a4f(4)(x4!)，⋯，anf(n)(x)n!Word资料...因此当f是一个n次多项式时，它就可以表成：Word资料...f(x)f(x0)f(x0)(xx0)...f(n)(x)0(xn!x)nnf(k)(x)0(xk0k!x)k（2.2）Word资料...00即x0附近的点x处的函数值f(x)可以通过x0点的函数值和各级导数值去计算．通过这个W

5、ord资料...00特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f，只要它在数，由这些导数构成一个n次多项式x0点存在直到n阶的导Word资料...Tn(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(x2!x)2...f(n)(x)0(xn!x)nWord资料...称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式，Tn(x)的各项系数f(k)(x)0(kk!1,2,3,...,n)，称Word资料...为泰勒系数．因而n次多项式的n次泰勒多项式就是它本身．2.1Taylor公式的各种余项对于一般的函数，其n次Taylor多项式

6、与函数本身又有什么关系呢？函数在某点x0附近能近似地用它在x0点的n次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor定理就是回答这个问题的．Word资料...定理1[10](带拉格朗日型余项的Taylor公式)Word资料...假设函数f(x)在

7、xx0

8、h上存在直至n1阶的连续导函数，则对任一Word资料...x[x0h,x0h],泰勒公式的余项为Rn(x)f(n1)()(xn1x0)Word资料...(n1)!其中x0(xx0)为x0与x间的一个值.即有Word资料...f(x)f(x0)f(x

9、0)(xx0)...f(n)(x)0(xx)n(n1)0f()(x0x)n1(2.3)Word资料...推论1当n[10]n!(n0，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：1)!Word资料...f(x)f(x0)f()(xx0)Word资料...所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．Word资料...Word资料...推论2[10]在定理1中,若令0f(n1)()Word资料...Rn(x)(1pn!)n1p(xx)n1(p0)Word资料...则称Rn(x)为一般形式的余项公式,其中x0xx

10、0．在上式中，pn1即为拉格朗日Word资料...型余项．若令p1，则得0f(n1)()Word资料...Rn此式称为柯西余项公式．(x)(