泰勒公式及其应用(数学考研)

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1、第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数在点处可微，则有：这样当时可得近似公式或，即在点附近，可以用一个的线形函数（一次多项式）去逼近函数，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量，如果要求误差不得超过，用去替代行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设

2、法解决这两个问题．2.1　Taylor公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个的次多项式在附近去逼近，即令（2.1）从几何上看，这表示不满足在附近用一条直线（曲线在点的切线）去替代，而是想用一条次抛物线去替代它．我们猜想在点附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数，…如何确定呢？假设本身就是一个次多项式，显然，要用一个次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有于是得：求一次导数可得：又求一次导数可得：这样进行下去可得：，，…，因此当是一个次多项式时，它就可以表成：（2.2）即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一

3、个启示，对于一般的函数，只要它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数，称为泰勒系数．因而次多项式的次泰勒多项式就是它本身．2.2Taylor公式的各种余项对于一般的函数，其次多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点附近能近似地用它在点的次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的定理就是回答这个问题的．定理1(带拉格朗日型余项的公式)假设函数在上存在直至阶的连续导函数，则对任一,泰勒公式的余项为其中为与间的一个值.即有(2.3)推论1当，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2在

4、定理1中,若令则称为一般形式的余项公式,其中．在上式中，即为拉格朗日型余项．若令，则得,此式称为柯西余项公式．当，得到泰勒公式：，（2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２（带皮亚诺型的余项的公式）若函数在点处存在直至阶导数，则有，．则当时，．即有（2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数在点处的泰勒公式，，称为泰勒公式的余项的，形如的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中时，可得到（2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于，函数的各阶泰勒公式事实上是函数

5、无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．定理３设，函数在内具有阶连续导数，且，在内的泰勒公式为（2.7）则．证明：在内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出，从而，令，得，故．由上面的证明我们可以看得出，当趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点及处函数及阶导数值：，，…，，以及用这些

6、值表示动点处的函数值，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1应用Taylor公式证明等式例3.1.1设在上三次可导，试证：，使得证明：(利用待定系数法)设为使下列式子成立的实数：（3.1）这时，我们的问题归为证明：，使得：令，则．根据罗尔定理，，使得，即：这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式：其中，比较可得原命题成立．例3.1.2设在上有二阶导数，试证：，使得．（3.2）证明：记，则在处泰勒公式展开式为：（3.3）对（3.3）式两端同时取上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：，使得因此原命题式

7、成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2应用Taylor公式证明不等式例3.4设在上二次可微，，试证：，，，．证明：取，将在处展开其中．以乘此式两端，然后个不等式相加，注意得：．例3.2.2设