第7章-频域处理ppt课件.ppt

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1、多媒体通信北京科技大学杨扬第7章频域处理频域世界与频域变换傅立叶变换频域变换的一般表达式离散余弦变换离散沃尔什哈达玛变换小波变换简介1、频域世界与频域变换频域变换的理论基础是：“任意波形都可以用单纯的正弦波的和来表示”因此图像的频域变换为：（1）将图像看成是线性叠加系统；（2）图像在空域上相关性很强；（3）图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数学变换。常用的变换有：傅立叶变换、离散余弦变换、小波变换、离散K-L变换1、频域世界与频域变换正弦波的振幅A和相位φ1、频域世界与频域变换时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法，因此上式可用复数

2、表示为完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。2、傅立叶变换傅立叶变换是一种常用的正交变换，它的理论完善,应用程序多。在图像处理应用领域，傅立叶变换起着非常重要的作用，可用它完成图像分析、图像增强以及图像压缩等工作。当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)（1）具有有限个间断点；（2）具有有限个极值点；（3）绝对可积。则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。2.1连续函数的傅立叶变换一维傅立叶变换对的定义为：式中：，x称为时域变量，u称为频域变量。2.1连续函数的傅立叶变换以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则它的

3、二维傅立叶变换对为式中：x,y为时域变量；u,v为频域变量。2.1连续函数的傅立叶变换若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。一维傅立叶变换对的定义为：式中：，x称为时域变量，u称为频域变量。2.2离散傅立叶变换设{f(x)

4、f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)对为：式中：x，u=0，1，2，…，N－1。2.3离散傅立叶变换的性质2.3离散傅立叶变换的性质2.3离散傅立叶变换的性

5、质-平移性质由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按行进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果，如下图所示。显然对f(x,y)先按列进行离散傅立叶变换，再按行进行离散傅立叶变换也是可行的。用两次一维DFT计算二维DFT2.3离散傅立叶变换的性质-可分离性平移性质表明，只要将f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M/2,N/2）处。下图是简单方块图像平移的结果。傅立叶频谱平移示意图(a)原图像；(b)

6、无平移的傅立叶频谱；(c)平移后的傅立叶频谱(a)(b)(c)2.3离散傅立叶变换的性质-旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如右图所示。离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱(a)(b)(d)(c)2.4快速离散傅立叶变换离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。可以证明其运算次数正比于N2，特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长，以至于无法容忍。为此，研究离散傅立叶变换的快速算法(FastFourie

7、rTransform，FFT)是非常有必要的。2.4快速离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换的快速算法如下式：式中，W=e-j2π/N，称为旋转因子。2.4快速离散傅立叶变换前面所示的一维离散傅立叶变换（DFT）用矩阵的形式表示为：式中，由Wux构成的矩阵称为W阵或系数矩阵。2.4快速离散傅立叶变换从上式中的W阵，并结合W的定义，可以发现W是以N为周期的。这样，W阵中很多系数就是相同的，不必进行多次重复计算。同时从下面关系可以看出W的对称性：对于N=4，W阵为：2.4快速离散傅立叶变换由W的周期性得：W4＝W0，W6＝W2，W9＝W1；再由W的对称性可得：W3＝－W1，W2＝－W0。于是上式可变

8、为：2.4快速离散傅立叶变换可见N=4的W阵中只需计算W0和W1两个系数即可。这说明W阵的系数有许多计算工作是重复的，如果把一个离散序列分解成若干短序列，并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简化运算过程，这就是FFT的基本思想。设N为2的正整数次幂，即：如令M为正整数，且N=2M2.4快速离散傅立叶变换将上式代入F(u)式，离散傅立叶变换可改写成如下形式：由旋转因子W的定义可知因此