数字图像处理ppt电子课件教案第07章频域处理

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1、第7章频域处理7.1频域与频域变换7.2傅立叶变换7.3频域变换的一般表达式7.4离散余弦变换(DCT)7.5离散沃尔什-哈达玛变换(WHT)7.6频域中图像处理的实现7.7用Matrix〈LIB〉C++库实现图像变换的VisualC++编程7.8小波变换简介7.1频域与频域变换频域变换的理论基础就是“任意波形都可以用单纯的正弦波的加权和来表示”。如图7-1(a)所示的任意波形，可分解为图7-1(b)、(c)、(d)所示的不同幅值、不同频率的正弦波的加权和。　　为便于理解，将图7-1(b)所示的正弦波取出来，

2、如图7-2所示。如果将虚线表示的振幅为1且初相位为0的正弦波作为基本正弦波，则实线表示的波形可由其振幅A和初相位φ确定。图7-1任意波形可分解为正弦波的加权和图7-2正弦波的振幅A和相位φ由此，图7-1(b)、(c)、(d)三个不同的正弦波形可以描述为图7-3所示的两幅图。其中图7-3(a)表示振幅与频率之间的关系，称为幅频特性;而图7-3(b)表示初相位与频率之间的关系，称为相频特性。　　这样便将图7-1(a)所示的时域波形f(x)变换到图7-3所示的频域F(f)。显然，不管波形多么复杂，均可将其变换到频域

3、。图7-3图7-1(a)波形的频域表示时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：(7-1)式中：A(f)、φ(f)分别为幅值和相位与频率f之间的关系。为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法。式(7-1)可用复数表示法表示为(7-2)式中：F(f)用复数表示幅值、相位与频率f之间的关系。7.2傅立叶变换7.2.1连续函数的傅立叶变换若一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即　　(1)具有有限个间断点；　　(2)具有有限个极值点；　　(3)绝对可积。则其傅立叶变换对(傅立叶变换和逆变换)一定存在。

4、在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。一维傅立叶变换对定义为(7-3)(7-4)式中：　　　；x为时域变量；u为频域变量。以上一维傅立叶变换可以很容易推广到二维。如果二维函数f(x，y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为(7-5)(7-6)式中：x，y为时域变量；u，v为频域变量。7.2.2离散傅立叶变换在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续(模拟)信号，而计算机处理的是数字信号(图像数据)；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算

5、。通常，将受此限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform,DFT)。定义：设{f(x)

6、f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为(7-7)(7-8)式中：x，u=0，1，2，…，N－1。注意：式(7-8)中的系数1/N也可以放在式(7-7)中，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘上　　　，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。由欧拉公式可知：(7-9)将式(7-9)代入式(7-7)，并利用

7、cos(－θ)=cos(θ)，可得：(7-10)可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，对每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和(每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值)，u决定了每个傅立叶变换结果的频率。　　通常傅立叶变换为复数形式，即(7-11)式中：R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。式(7-11)也可表示成指数形式：(7-12)式中：(7-13)(7-14)通常，称

8、F(u)

9、为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，φ(u)为f(x)的相位谱。频谱的平方称为能量谱或功率

10、谱，它表示为(7-15)考虑到两个变量，就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对定义为(7-16)(7-17)式中：u，x=0，1，2，…，M-1；v，y=0，1，２，…，N-1；x，y为时域变量；u，v为频域变量。像一维离散傅立叶变换一样，系数1/(MN)可以在正变换或逆变换中，也可以分别在正变换和逆变换前分别乘上系数　　　　，只要两系数的乘积等于1/(MN)即可。　　二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为(7-18)(7-19)(7-20)式中：R(u，v)和I(u，v)分别是

11、F(u，v)的实部和虚部。7.2.3离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质对图像的分析具有十分重要的作用，因此，有必要理解和掌握二维DFT的性质。二维离散傅立叶变换的主要性质如表7-1所示。表7-1二维DFT的性质续表以上具有重要意义的两个性质的含义如下。　　1.可分离性　　由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。可先对f(x，y