《一次函数》典型例题解析与点评剖析.doc

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1、《一次函数》典型例题解析与点评一次函数是初中数学中应用广泛、内容丰富的课题之一，通过学习一次函数，可有助于构造方程、深入理解函数的变化，使以后的学习、研究更加方便．本专题的基本要求是会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式；能用一次函数解决实际问题；会画一次函数的图像，并掌握其性质，所以我们从一些基础问题、最值问题、一次函数的应用、动点问题和定点问题这几个方面来阐述．例题１已知直线l1：y＝－3x＋4与直线l2：y＝x＋4相交于点A，其中直线l1与x轴交于点C，现沿着x轴将直线l1在x轴以下的部分向上翻折到x轴的上半部，翻折后与直线l

2、2交于点B．(1)求射线lCB（不含端点）对应的函数解析式及定义域；(2)求点B的坐标；(3)求△ABC的面积．【解答】(1)由y＝－3x＋4知，C（，0）．【技巧】题中所求交点坐标是利用两个函数的解析式联立方程组求解，这种情况在“正反比例”中已做强调．而求面积的题目一般是通过构造特殊的图形，或者利用割补法来求解．另外，以下知识点在一些教材需等高中才能讲授，作为本书阅读者可提前了解．已知两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2．(1)若l1∥l2，则k1＝k2，或l1、l2两直线同时平行y轴；反之亦然．(2)若l1⊥l2，则k1×k

3、2＝－1，或l1、l2中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在（两直线分别为平行于x轴，y轴）；反之亦然．在本题中，l1、l2为互相垂直．例题2已知abc<0，a＋b＋c<0，且一次函数y＝的图像经过第一、二、三象限．求证：(1)a>0，b>0，c<0；(2)当x>0时，y>1．【解答】【技巧】本题考查的是一次函数的图像，根据图像所经过的象限判断出斜率和截距的情况，即b÷a>0，（－c）÷a>0；再结合不等式的性质，推出a、b、c的大小，从而得证．反过来根据x的取值范围，再利用函数图像也能求出y的取值范围．例题3如图所示，在直角坐标系内，一次函数

4、y＝kx＋b(kb>0，b<0)的图像分别与x轴、y轴和直线x＝4相交于A、B、C三点，直线x＝4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积是10，若点A的横坐标是－0.5，求这个一次函数的解析式．【解答】【技巧】本题利用待定系数法和面积法构造二元一次方程组求解．要求一次函数的解析式，必须已知两个点，而本题只给出一个点的坐标，因此要从面积着手找出k与b之间的另一个关系．通过本题，可知解题还须熟记以下基本公式．(1)l：y＝kx＋b与x轴的交点为(－，0），与y轴的交点为(0，b)；(2)l与x轴、y轴所围成的三角形面积为．例题４如图所示，在直角坐标平

5、面内，函数y＝(x>0，m是常数)的图像经过点A(1，4)，B(a，b)，其中，过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD、DC、CB．(1)若△ABD的面积为4，求点B的坐标；(2)求证：DC平行于AB；(3)当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式．【解答】(1)将点A代入y＝得：m＝4，所以y＝．由△ABD的面积为4，点B(a，b)代入函数解析式得方程组：【技巧】注意斜率公式：k；两点间距离公式：d＝．本题首先用待定系数法求出反比例函数关系式，然后通过已知条件的面积以及关于点B的函数关系式找到两个等量关系，再构造方程组

6、从而解出点B的坐标，求证DC与AB的平行，由于在直角坐标系中本题完全可撇除通过平行的判定来证明，这里我们从直线的斜率上判断，原因在题1的技巧贴士中已经给出．第(3)问求函数关系式，选择待定系数法，通过AD＝BC，在直角坐标系中构造直角三角形，通过求边的长度找到等量关系．【点评】几何问题是一次函数中常见的题型，它经常以一次函数的翻折旋转、一次函数的性质定义、由面积求一次函数解析式等形式出现．在解题之前要熟记一次函数的定义、性质、特点等基本知识，特别是类似一次函数斜率k≠0等问题．对于翻折旋转问题，还请了解以下内容．正因为如此，题1中l1：y＝－3

7、x＋4关于x轴对称可直接表达为－y＝－3x＋4，当然也可以取l1上一点（2，－2），则该点关于x轴的对称点为(2，2)，求出经点C（，0）与(2，2)的解析式即lBC．这种“取点”方法间接解决了函数y＝f(x)关于某点对称的函数y＝g(x)的求法，即取y＝f(x)上的一些点，这些点的对称点比较容易求出，并且这些点都在y＝g(x)上，有了这些点，利用“待定系数法”等技巧可以表达出y＝g(x)．对于面积问题，通过题1、题3、题4的讲解我们知道，在一次函数中，要么用割补法，如题1，要么数形结合，直接用公式，如题4，以BD为底，△ABD的高为4－b．例

8、题5已知f(x)是一次函数．(1)若f[f(x＋1)]＝4x＋7，求函数f(x)的表达式；(2)若f(1)＝1，且f[(2)]＝2×，求函数f(x)的