一道求动点到定点最小距离问题的解法探索.doc

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1、一道求动点到定点最小距离问题的解法探索笔者所在的学校在2018学年第一学期期中测试中，九年级数学填空题有这么一道压轴题：如图，已知⊙O的半径为2，以弦AB为边⊙O内部作正方形ABCD，连结OD，OD的最小值是________。（图1）（图2）（图3）我校九年级学生无人做对，但有一种错解颇具代表性，学生用这种解法还自认为没错，因而值得探究。我们先来看这些学生的解法：以不等的弦AB水平放置画出几个正方形，发现点D在一条线段上（如图2），过点O作这条线段的垂线段，求出这条垂线段的长就是OD的最小值。如图3，在Rt△DEF中，求得DF=，∴DH=，在Rt△DOH中

2、，求得OH=，∴OD的最小值为娄一德同学也是这么解的，粗看此解法没错，那问题出在哪里呢？仔细一看，点D在线段上仅仅是用描点法得到的猜想，没加以验证或证明，估计这里有问题，我们把图2放到直角坐标系中，圆心O与原点重合，AB与x轴平行，设点D（x，y）（-1

3、D也作圆弧运动（如图5），而点B从A点到最大位置（正方形ABCD成圆内接正方形）运动了90°，则点D也运动了90°，在图6中，通过点D运动的90°弧和AD的长求得⊙O'的半径为2，易得正方形AODO’，求得OO'=2，因而问题就转化为圆外一点O到⊙O'的最小距离，显然OD的最小值为2。（图5）（图6）除了描点法这一常规方法外，此题还有其它的解法。比如将△ADO绕点A顺时针旋转90°到ABO'（如图7），则OD=O'B，如固定A点，B点在⊙O上运动，则O'也固定，OO'=2问题就转化为圆外一点O'到⊙O的最小距离，显然O'B的最小值为2所以OD的最小值为2。

4、（图8）（图7）还有一种解法也很妙，连接AC并延长AC交⊙O于点E，连接BE、DE（如图8），得BE=DE，∵∠BAE=45°，∴弧BE=90°，∴弦BE=2，∴DE=2。对于D、O、E三点，DE-OE≤OD，∴OD≥DE-OE=2，即以OD的最小值为2。这种方法其实是固定B点，从而固定E点，点D在以E为圆心，2为半径的圆上运动，求OD的最小值。通过此题的探究，我们发现一是探究动点的轨迹时如要用描点法，能固定的点尽量固定；二是求动点到定点的最小或最大距离可转化为点到直线的距离问题，也可转化为三角形三边关系，还可转化为圆内（或外）一定点到圆的最小或最大距离问

5、题。2018.11