动点到两定点距离和最小(两定一动).doc

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1、如何求两线段和的最小值（两定一动）江苏省宿迁市泗洪县姜堰实验学校尹甜甜同学们学习了轴对称之后，知道：关于某条直线对称的两点到对称轴上的同一点距离相等。利用这一结论可以把对称轴一旁的点转移到对称轴另一旁，从而求出某些线段和的最小值。例1.如图1，草原上有一条小河l,在小河的同旁有A、B两城市，某司机驾着越野车从A到B市，途中要到河边加一次水。问司机选择什么位置加水才能使所行总路程最短？分析：不同的人在小河上所选择的加水点也不同，(如图1，加水点可以是P、也可以是Q，还可以是其它点)，那么所行走的总路程PA+PB、QA

2、+QB也各不相同，其中存在一种最小值，如何确定这一点的位置呢？如图2，我们作B点关于直线l的对称点B1，连接PB1、QB1，由对称的性质知：PB1＝PB、QB1＝QB，求PA+PB、QA+QB的值，可转化为求PA+PB1、QA+QB1的值，根据线段公理不难发现图2中无论是点P，还是点Q所产生的PA+PB1、QA+QB1都不是最小的。如图3，我们连接AB1交直线l于点C，根据对称性，CB＝CB1，即AC+BC＝AC+CB1＝AB1.根据线段公理，我们不难发现AB1＜PA+PB1，、AB1＜QA+QB1即：连接AB1交

3、直线l于点C，在C处加水，可以使司机所走过的总路程最短。小结：上述过程中，我们首先找出B点（也可以是A点）关于直线l的对称点B1（或A1），然后连接AB1（或A1B），所连线段与l的交点C就是所求作的点。（如图4、图5）问题特征：定点A、B在直线l的同旁.在l上求作一点C，使AC+BC的值最小。..................................................................................（不妨简称为：两定一动一直线）解题方法：找其中一点关于直线l

4、的对称点，连接，得交点。..............................................................................................（找对称、连接、得交点）理论依据：轴对称性质、线段公理。同学们掌握了此类问题的特征、解题方法之后，遇到类似问题便可适当的加以转化，从而使问题得到解决。（即形成基本模型：“两定一动一直线”，建模：解决问题）例2.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝900，AD＝5，AB＝5，BC＝7；点P是边A

5、B上一动点，连接PD、PC，求PC+PD的最小值，并求此时PA的长。解析：解决此题关键是：找到两定点C、D，一动点P，一直线AB所在直线，找对称、连接，然后构造一直角三角形，使用勾股定理求出PC+PD的最小值；进而再使用三角形相似求出PA.（PC+PD的最小值为13）例3.已知a+b=3,且a＞0,b＞0,求的最小值解析：我们可以尝试把和构造成两条线段，从而把问题转化为求两条线段和的最小值问题。学习了勾股定理之后，我们知道：是两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边的长；是两直角边分别为b和2的直角三角形的斜边的长。

6、如下图：这里把问题转化为求PA+PB的最小值，其中A、B两点为定点，随着a、b值的变化P点的位置也在变化，P为动点，即“两定一动一直线”。于是可以“找对称、连接、得交点”，求出PA+PB的最小值。（答案：PA+PB的最小值为）下面再给出几题供大家练习：1.如图，将矩形ABCD对折，点P是折痕上的一动点，已知AB＝6，BC＝8，连接PB、PC，求PB+PC的最小值。（答案：PB+PC的最小值为10）2.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上任意一点，点E为AD边中点。若AC＝AD＝6，连接PA、PE，求PA+PE的最

7、小值。（答案：PA+PE的最小值为）3.在平面直角坐标系xoy中，矩形ABOC的坐标分别为A（4，3）、B（4，0）、C（0，3）,点D是OB的中点，点P是y轴上一动点，连接PA、PD，当PA+PD的值最小时，求点P的坐标.（提示：找到D点关于y轴的对称点E（-2，0），确定直线AE表达式，从而..........）（答案：AE表达式为：,P（0，1））（变式：在平面直角坐标系xoy中，点A（4，3）、D（2，0）,点P是直线y＝x上一动点，连接PA、PD，当PA+PD的值最小时，求点P的坐标.）4.如图，点P是抛

8、物线y=ax2+bx+c上的任意一点，抛物线与轴交于A（5，0）、B（－3，0）两点，点G（－7，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的一点，连接PA、PG，求当PA+PG取最小值时的点P坐标。（拓展：在上述条件下，当PG－PA的值最大时，求P点坐标）5.如图，⊙O的直径AB=10，∠CAB＝30O,点D是弧BC的中点，点P是直径AB上一动点，连接PC、PD，