数列求和（有放缩法）（教师版）.doc

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1、第二讲数列求和（用放缩法证明求和不等式）知识回顾：数列求和主要方法：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：3．错位相减法：比如4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6．倒序相加法：7．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等热身题：一、裂项相消法求和例1、　在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求S

2、n的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.思维启迪：第(1)问利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)后，再同除Sn－1·Sn转化为的等差数列即可求Sn.第(2)问求出{bn}的通项公式，用裂项相消求和．解　(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.(2)又bn＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－

3、)]＝＝.二、错位相减法求和例2、设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.思维启迪：(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减．(2)bn＝n·3n的特点是数列{n}与{3n}之积，可用错位相减法．解　(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②①－②得3n－1an＝，∴an＝.在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，∴an＝.(2)∵bn＝，∴bn＝n·3n.∴Sn＝3＋

4、2×32＋3×33＋…＋n·3n，③∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n·3n＋1－，∴Sn＝＋.数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：

5、，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比

6、数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消形式，再求和例5．题1.已知数列中，证明：放缩一

7、：＝点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节？放缩二：点评：此种方法放大幅度较（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式？放缩三：本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。总结：常

8、用放缩的结论：（1）（2）有误：待更正（3）.在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如