用放缩法处理数列和不等问题教师版

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1、用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：.解:(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=

2、Sn－Sn－1=(an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,=－)=×(－)<10二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列中，，前n项的和为，且成等差

3、数列．设，数列前项的和为，证明：．解：∵，，，∴公比．∴．．（利用等比数列前n项和的模拟公式猜想）∴．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（Ⅲ）证明：.（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即　（II）证法一：　　　　　　　　　　　　　①　　　　　　②②－①，得10即　③－④，得　即　是等差数列（III）证明：2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所

4、以，所以，故得．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.10(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；练习：1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.(Ⅰ)求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.解：(Ⅰ)（利用函数值域夹逼性）；（II）；（Ⅲ）∵，∴2.（04全国）已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）

5、证明：对任意的整数，有分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；10⑵由已知得：（n>1）化简得：,故数列{}是以为首项,公比为的等比数列.故∴∴数列{}的通项公式为：.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，（2）当是奇数时，为偶数，所以对任意整数，有。本题的

6、关键是并项后进行适当的放缩。103.（07武汉市模拟）定义数列如下：求证：（1）对于恒有成立；（2）当，有成立；（3）分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由得：……以上各式两边分别相乘得：，又（3）要证不等式，可先设法求和：，再进行适当的放缩。又原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。用放缩法处理数列和不等问题（学生版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）10例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，

7、证明：.二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和10例2．等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列．设，数列前项的和为，证明：．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（Ⅲ）证明：.2．放缩后为“差比”数列，再求和10例3．已知数列满足：，．求证：3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求证：；(2)求证：练习：101.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.(Ⅰ)求实数b的值；（II）求数列的通项公式；

8、（Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和