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1、7.3蒙特卡罗模拟蒙特卡罗(Monte－Carlo)模拟，又称蒙特卡罗方法、统计试验法等.M－C模拟是静态模拟，描述特定时间点上的系统行为.模拟过程中不出现时间参数。基本思想:把随机事件（变量）的概率特征与数学分析的解联系起来.概率特征：随机事件的概率和随机变量的数学期望等.用试验方法确定一.蒙特卡罗法计算定积分例7.3.1用M－C模拟求圆周率π的估计值.110设二维随机变量(X,Y)在正方形内服从均匀分布.(X,Y)落在圆内的概率为:计算机上做n次掷点试验：产生n对二维随机点(xi，yi)，i＝1,2,…,n.xi和yi是RND随机数对.检查每对随
2、机数是否满足:相当于第i个随机点落在1/4圆内.若有k个点落在l／4圆内随机事件“点落入1/4圆内”的频率为k/n根据概率论中的大数定律,事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率p，即有得圆周率π的估计值为且当试验次数足够大时,其精度也随之提高.分析：实际上概率值为恰为1/4圆的面积频率法：利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分.平均值法：利用随机变量的平均值(数学期望)来计算定积分.平均值法的算法如下：产生RND随机数：r1，r2，…，rn；（2）令ui=a＋(b－a)ri，i=1，2，…，n；（3）计算作为I的估计值.原理分析：设随机变量ζ
3、1，ζ2，…，ζn相互独立，且ζi～U(0,1){f(ξi)}，i=1，2，…，n相互独立同分布由(强)大数定律知以概率为1成立当n足够大时，得近似公式：注：平均值法本质上是用样本平均值作为总体教学期望的估计。二.蒙特卡罗模拟试验次数的确定M－C模拟是一种试验近似方法,试验次数如何确定？？希望：模拟次数较少、模拟精度较高频率法的讨论用事件A出现的频率作为概率p的估计:问题：试验次数n多大时，对给定的置信度1－α（0<α<1），估计精度达到ε.即问：取多大的n使成立？证明频率法是事件A出现的频率作为概率p的估计答案：其中,zα是正态分布的临界值.n次独
4、立试验中A出现的次数kn～B(n,p).由中心极限定理知平均值法在给定α和ε下所需的试验次数的估计式为查得正态分布的临界值zα,可解得试验次数估计式的分析为估计概率p做模拟,却又需要用p去估计模拟次数n.如何计算S2？解决方法：先做n0次模拟（称为学习样本)，根据学习样本.（1）先求出p的估计，再估计模拟次数n:（2）计算出的样本方差S2,用来估计n.2.M－C模拟的估计精度ε与试验次数n的平方根成反比,若精度ε提高10倍,则试验次数n要增大100倍.P197表8.2中列出了置信度为0.95时,在不同精度ε及概率p条件下频率法所需试验次数。对该表进行
5、分析，能得到什么结论？1.精度提高，试验次数大幅提高；2.事件发生概率越接近0.5，试验次数越高；例7.3.2核反应堆屏蔽层设计问题核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅包围反应堆，用以阻挡或减弱反应堆发出的各种射线.在各种射线中,中子对人体伤害极大，因此，在屏蔽层的设计中,了解中子穿透屏蔽层的概率对反应堆的安全运行至关重要.1.问题背景假定屏蔽层是理想的均匀平板一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:中子以初速度v0和方向角α射入屏蔽层,运动一段距离后与铅核发生碰撞，中子获得新的速度及方向(v1,θ1).再游动一段距离后,与铅核发生第二次碰撞,并获得新的状态(
6、v2,θ2),如此等等,经过若干次碰撞后,出现下述情况之一时中子终止运动过程三种状态1）中子被弹回反应堆；为使屏蔽层的厚度达到安全设计要求,在计算机上对中子在屏蔽层的运动过程进行模拟2）中子穿透屏蔽层；3）第n次碰撞后,中子被屏蔽层吸收.D返回穿透吸收阐述中子的运动，为模拟做理论准备2.简化假设：*1假定屏蔽层平行板厚度为D=3d，其中d为两次碰撞之间中子的平均游动距离；*2假设在第10次碰撞以后，中子速度下降到为某一很小数值而终止运动（被引收）.因每次碰撞后,中子因损失一部分能量而速度下降.*4中子经碰撞后的弹射角θ～U(0,2π).思考：请仔细分
7、析以上假设的合理性.*3假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布；3.中子运动的数学描述引进变量：弹射角θi—第i次碰撞后中子的运动方向与x轴正向的夹角.DD0xxiθixi—第i次碰撞后中子所处位置与屏蔽层内壁的距离.Ri—中子在第i次碰撞前后的游动距离.三个变量均为随机变量中子在屏蔽层里随机游动,第i次碰撞以后,按照它的位置坐标xi，可能有以下三种情况发生：（1）xi<0，中子返回反应堆；（2）xi＞D，中子穿透屏蔽层；（3）0＜xi＜D，若i<10，中子在屏蔽层内继续运动,若i=10中子被屏蔽层吸收.中子三状态判别准则经过第i次
8、碰撞，中子在屏蔽层内的位置是xi=xi－1+Ricosθi，i=1，2，…，10，4.模拟过程(1)产生RN
