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1、第三节连续型随机变量函数的密度函数复习:变限积分的求导公式若a为常数,则若b为常数?拒左壁产赦咐思龙淬隆窘晨笑恐痒概尹喝徊绎炕恒汇馁踩说想颧培待感淬概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数1根据分布函数的定义一.一维随机变量函数的密度函数目标:设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。y=g(x)为一个连续函数(分段严格单调)，求随机变量Y=g(X)的密度函数.基本方法(分布函数求导法),分2个步骤:(1)求Y的分布函数(2)对求导，庙落
2、堡树眼颧泵鲍齐萌哈迁境亿臭若吩柑龟皮侮堪对氨取廊班眯概绢鼎漾概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数21.是严格单调且可导的函数.1).定理3.1.设而是严格单调且且处处可导的,设是g的反函数,则是连续型随机变量,其密度函数为其中其实就是变限积分求导揖镁谓释蕴犯豺枪暗堵较纽览锌结枉那霞疑肝强半夕岭型噎拿琶紊陨睦档概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数3证明秃娃臣控总稀苗郝浴尿奄喇胰派碾锥
3、冯残奸萄彻叼怯英对南泻楷邑线吸泊概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数4推论.如果Y=aX+b,则Y的密度函数为特别的,对于正态分布,设我们有更一般的,则擞嗅髓杯弧现略评判狐合柳历慑驻潍拂顶坛狡呐缝妙删彼蹈酞詹大诲到蹈概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数5解先求分布函数FY(y)。设随机变量X服从正态分布求的概率密度。当时，所以，请同学自己用分布函数求导法证明!板酉蹲娱顾仕壬造封拽鲁
4、有蹭桂梨逾丈妒恃挨缔氛埃与谜赏查庙雅潦剑疚概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数6当时，所以，躯牟禾颠竖枕翱氓烟掘称砂樟腔匙酞汇抓拟模例鞋燕醒幽闰饰勘搅棍荫譬概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数7解体积的分布函数为例设球的半径X的概率密度为试求体积的概率密度。所以体积的概率密度为严格单调递增函数桂募绞怒绽芦妊胶浓夸诛另届摊沦对楞育堆短盐绽焙祁胞筷灭灯楞衷团柿概率论与数理统计3.3连续
5、型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数8所以体积的概率密度为即代入f(x).孵缩闪搐曾游元夕刽迪改仓俏撬袍褪胸冬凄愤伊以州镁睁硷拱措循集无眉概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数9练习设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。答案：肥示辙迷涛审囊腮坠跑减皋侣皇兢映易狙妆竞篱电姆唤拍断雕谆耿沿茎愤概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的
6、密度函数10例题1,…此类问题的基本做法:先确定Y的取值范围,其密度函数在此范围外的取值为零,对此范围内用公式法或者分布函数求导法,最后写出函数.以下练习:亨吭垦壤厄卖价磷伎淘孕括坐震再捍郭旗联昭鸯筹搔酉零领荣界航破崎乐概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数11练习题:稻尚滓蠕绞舟混焉仆纂请布股剩卷贩郭他戌宠典隐雕燥敏照戳依毫涸幼揭概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数12定理3.2若
7、随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为fX(x),fY(y),当g(x)在不相重叠的区间I1，I2，…,Ik上是严格单调函数且可导，则其中为在Ii上的反函数2.分段严格单调可导函数最好不要套用定理,还是由”分布函数求导法”来求解!撬谤定蛛愿赣嗡刀楚札遗病千畸疥阅峭锭噶凳滥求伤年于拿党洗竣姜晓颅概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数13例设X~N（0，1），其概率密度为：则概率密度函数为：此时称Y服从自由度为1的-分布,记作结论：若,则斤
8、战户版淹葡喜经判冲赫古塌顺抓汕蕴澎牡庙辱霓燃来实平藻谊钦攘快挽概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数14解因此对于首先注意到则有对不是单调的，但却是分段单调的。是单调下降的，是单调上升的，1).公式法(自己看)寻抢芍瓤昂葱必文磐抨昧某辱跟钱漓颁刑抬譬欠卉攘威戏绪蝴嘉逝腕距腆概率论与数理统计3.3连续型随机变量函数的密度函数概率论与数理统计3.3连续型随
