人教高一数学值域和单调性讲义.doc

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1、第二节一、函数值域的求法：求函数值域，必须首先确定函数定义域。1、常规方法：（1）通过图像求值域：适用于能画出图像的函数，如；（2）配方法：对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解；2、分离常数法（分式）例如，其值域为：关键：且3、判别式法适用于形如，（不全为零且分式不可约的式子）4、换元法：适用于无理数中含自变量的函数，如。注意：设，必须确定t的取值范围。5、对于一些复杂的或者复合函数，要逐层的求值域。题型一、求一般函数的值域：例1、求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）（5）（1）例2、求下列函数的

2、值域。（1），；（2）；（3）；（4）题型二、求复合函数的值域：对于复合函数，要逐层求解，设内层函数为t，求出内层函数的值域，内层值域即外层函数的定义域，再利用函数性质求解。例3、求值域：。（逐层求解值域）例4、求的值域。（复合函数的值域）二、函数的单调性一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

3、，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替x1，x2；有序性：即通常规定x1

4、)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：单调区间可以是整个定义域。例如在整个定义域范围上是增函数，在整个定义域上是减函数；单调区间也可以是定义域的真子集，例如在上不具有单调性，但在上是减函数，在上是增函数；单调区间一般不可以取并集，如在上递减，在上也递减，但是不可以说在上单调递减。在特殊情况下，可以把单调区间取并集，若f(x)在上都是增或者减函数，即两个区间上单调性相同，而且函数的两个区间都包括同一个端点，则可以说函数f(x)在上

5、是增或者减函数。例5、定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有，则必有（）A、函数f(x)先增后减；B、函数f(x)先减后增；C、函数f(x)在R上是增函数；D、函数f(x)在R上是减函数；3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2∈D，且x1

6、几个最简因式乘积或商的形式，且因式尽量有因式。例6、研究函数的单调性：。注：对于函数时，不难证明，其在上是减函数，在上是增函数。例7、证明函数在其定义域内是减函数。二、函数单调性（单调区间）的判别：1、直接法：对于熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，则可以直接判别它们的单调性，求出其单调区间；2、定义法：按照证明函数单调性的五个步骤来进行。3、运算性质法：（1）当a>0时，函数与的单调性相同，当a<0时，函数与的单调性相反；（2）当函数恒为正或者恒为负时，与的单调性相反；（3）若，则与的单调性相同；

7、（4）若与的单调性相同，则+的单调性与和的单调性相同；（5）若与的单调性想反，则-的单调性与的单调性相同。例8、函数的单调递减区域为()A、B、C、D、三、单调性的应用技巧：1、用于比较函数值的大小：例9、已知函数在上是减函数，试比较与函数的大小。2、利用单调性求参数的取值范围：例10、已知在上是减函数，求实数a的取值范围。例11、已知函数在R上是增函数，则a的取值范围是（）1、利用函数的单调性可以解决有关方程、不等式、值域等问题。例12、（1）解方程。（2）函数4、复合函数的单调性复合函数的单调性：同增异减。例

8、如：函数函数，单调递减。因为函数这个函数在整个定义域范围内单调递增，而在定义域范围内是单调递减的，所以在定义域范围内是单调递减的。若一个函数由多个简单函数复合而成，则此复合函数由简单函数中的减函数的个数决定，若减函数有偶数个，则这个复合函数是增函数，若减函数是奇数个，则这个复合函数是减函数。利用单调性可以求函数的最值，注意在利用函数的单调性求最值时，必须首先求出定义域，然