2021届新高考数学一轮专题复习（新高考版）第11讲-函数与方程（解析版）.doc

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1、第11讲-函数与方程一、考情分析1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．二、知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的概念如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存

2、在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210[微点提醒]1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a

3、，b]上有零点的充分不必要条件.15原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！一、经典例题考点一　函数零点所在区间的判定【例1】(1)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为(　　)A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.【解析】　(1)因为y＝lnx与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2

4、>0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝lnx＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.因为f(1)＝1－＝－1<0，f(2)＝8－＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).规律方法　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数

5、图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.15原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！考点二　确定函数零点的个数【例2】(1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)A.3B.2C.1D.0(2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有(　　)A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】　(1)法一　　由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点.法二　函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)

6、共有2个零点.图1(2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2.在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图2).图2由于两函数图象有2个交点.所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点.规律方法　函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.15

7、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！考点三　函数零点的应用【例3】(1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)A.(－∞，－1)B.(－∞，1)C.(－1，0)D.[－1，0)(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A.[－1，0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)【解析】　　(1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.(2)

8、函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，