第04_2章 常规根轨迹绘制的基本法则ppt课件.ppt

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1、4-2常规根轨迹绘制的基本法则在控制系统中，通常将负反馈系统中根轨迹增益K*变化时闭环系统特征方程的根(闭环极点)在s复平面上运动的轨迹（根轨迹）称为常规根轨迹。本节讨论常规根轨迹绘制的基本法则和闭环极点的确定方法。这些法则非常简单，熟练掌握它们，对于分析和设计控制系统是非常有益的。当可变参数是系统的其它参数时,这些基本法则仍然适用。用这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循180◦+2kπ的条件，因此称为180◦根轨迹。1绘制根轨迹的基本法则法则1根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点,终于开环零点。根轨迹起点是指根轨迹增益Κ*=0的根轨迹点，而终点则是指Κ*→∞的根轨迹点。在实际系统中，由

2、于m≤n，因此有n-m条根轨迹的终点将在无穷远处（即开环无限零点)。特别地，若有m>n,则有m-n条根轨迹始于无穷远处（开环无限极点）。将幅值条件式（4-10）改写为：可见，当时，；当时，；当（无穷远处点）：①时，（终点），②时，（起点）。即：当n≥m时，有n-m条根轨迹的终点将在无穷远处（开环无限零点)。若n＜m,则有m-n条根轨迹始于无穷远处（开环无限极点）。图4-4根轨迹的起点和终点表示图法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。根轨迹是开环系统某一参数从零到无穷连续变化时，闭环极点在s平面上的变化轨迹

3、。因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。对于任何物理上可实现的开环系统，必有n≥m。所以，一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两种，实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是根的集合，故根轨迹对称于实轴。根据对称性，只需做出上半s平面的根轨迹部分，然后利用对称关系就可画出下半s平面的根轨迹部分。由于闭环特征方程式的某些系数是根轨迹增益Κ*的函数，所以当Κ*从零到无穷连续变化时，特征方程的系数也比随之变化，因而特征方程式的根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。法则3根轨迹的渐近线。当开环有限极点数n大于有限零点数

4、m时,有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为,交点为的一组渐近线趋向无穷远处,其中：渐近线是一组射线，它是s→∞时的根轨迹，因此渐近线也一定对称与实轴（证明略，仅举例说明作法)。根据已知的三条基本法则，确定绘制根轨迹的数据。例4-2单位反馈系统开环传递函数为解：由法则1，根轨迹起于G(s)的极点p1=0，p2=-4，p3=-1+j，p4=-1-j，终于G(s)的有限零点z1=-1以及无穷远处。由法则2，根轨迹的分支数有4条，且对称于实轴。由法则3，有n-m=3条根轨迹渐近线，其交点：首先将开环零、极点标注在s平面的直角坐标系上，以“×”表示开环极点，以“○”表示开环零点，如图4-6(b)所示。

5、注意，在根轨迹绘制过程中，由于需要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与纵坐标必须采用相同的坐标比例尺。(a)(b)图4-6控制系统及其根轨迹渐近线开环极点（起点）：p1=0，p2=-4，p3=-1+j，p4=-1-j开环零点（终点）：z1=-1以及无穷远处分支数：4条，且对称于实轴。根轨迹渐近线：n-m=3条，与实轴交点：法则4实轴上的根轨迹。实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。设开环零极点分布如图4-7所示。s0是实轴上某一个测试点，φj(j=1,2,3)是各开环零点到s0点向量的相角，θi(i=1,2,3,4)图4-7实轴上的根轨迹是各开环极点

6、到s0点向量的相角。复数共轭零、极点到实轴上任意一点(包括s0)的向量相角和为2π。在确定实轴上的根轨迹时，可不考虑其影响。由图可见，s0点左边开环实数零、极点到s0点的向量相角为零，而其右边零、极点到s0点的向量相角等于π。如果令∑φj和Σθi分别代表s0点之右所有开环实数零点和极点到s0点的向量相角和，那么s0点位于根轨迹上的充分必要条件为：图4-7实轴上的根轨迹这些相角中的每一个相角都等于π，而π与-π代表相同角度，因此减去π角就相当于加上π角。于是s0位于根轨迹上的等效条件为式中，m0、n0分别表示在右侧实轴上的开环零点和极点个数。图4-7实轴上的根轨迹即若s0是位于实轴上的根轨迹上

7、的点，则s0点右变的所有开环实数零点和极点个数之和等于奇数。对于图4-7系统，根据本法则可知，z1和p1之间、z2和p4之间，以及z3和-∞之间的实轴部分，都是根轨迹的一部分。等效条件进一步整理可得：法则5根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。分离点的坐标d是下列方程的解：(4-20)式中，zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值；一般用试凑法