旋转倒立摆系统设计分析报告.docx

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1、旋转倒立摆控制系统建模、分析与设计李振(1.上海大学机电工程与自动化学院上海)摘要：本文介绍了单级旋转倒立摆系统的构成，并利用Lagrange方程建立了数学模型，根据倒立摆系统的数学模型在Matlab环境下设计了控制器，并进行仿真。设计了LQR状态跟随运动控制器。结果表明，LQR状态跟随器控制系统超调小，响应速度快，鲁棒性强。根据设定的Q和R，计算出LQR最优控制参数K。关键词：旋转倒立摆；状态反馈；最优控制策略LQR中图分类号：TG214ModelingAnalysisandDesignofRotaryInvertedPendulumControlSystemLIZhe

2、n(1.CollegeofMechatronicEngineeringandautomation,ShanghaiUniversity,Shanghai)Abstract：ThestructureandmathematicmodelofSingle-RotationalInvertedPendulum(RIP)ispresentedinthispaper.ThemathematicalmodelissetontheLanguageequation.Accordingtothemathematicalmodelofinvertedpendulumsystemcontroll

3、erwasdesignedinMatlabenvironment,andcarryonthesimulation.LQRstatefollowingthemotioncontrollerisdesigned.TheresultsshowthattheLQRstatefollowercontrolsystemhassmallovershoot,fastresponseandstrongrobustness.AccordingtothesetofQandR,theLQRoptimalcontrolparameterKiscalculated.Keywords：Rotation

4、alInvertedPendulumState-feedbackControllerLQRcontroller0前言常见的倒立摆系统主要包括直线倒立摆、旋转型倒立摆和环型倒立摆。他们之间主要是机械结构的不同，原理上大同小异。各种倒立摆系统在建模方法、模型分析上十分类似，而其主要区别在于采取的控制理论不同。旋转倒立摆的摆杆旋臂是在竖直平面内旋转的，一般的结构如图1所示。图1旋转倒立摆的总体结构在本实验中，为了建模过程方便，对旋转倒立摆的结构进行了简化。利用现代控制理论的有关知识，对简化的旋转倒立摆系统建立状态空间模型，分析其能控及能观性并进行状态反馈控制的设计。1旋转倒立摆

5、控制系统建模本试验仅对旋转倒立摆的简易模型进行设计与分析。假设旋臂仅在水平面内运动，忽略空气阻力及摩擦，得到简易旋转倒立摆的简化模型如图2所示。该模型描述了旋转倒立摆的运动过程。由于旋臂在电机的带动下旋转，摆杆随之摆动，通过对旋臂的旋转控制，保持摆杆在竖直平面内。图2旋转倒立摆的简化模型建模过程中，机械结构参数有：①摆杆的集中质量m②旋臂长度r③摆杆等效长度L。设摆杆偏离垂直向上的角度为α，旋臂转过的角度为θ。该系统的状态空间方程推导如下：将摆杆竖直面的运动在x与y方向上分解：Vm=Lcosαα+Lsinαα(1)旋臂的速度：VM=rθ(2)则有摆杆实际运动的速度分解为：

6、Vx=rθ-Lcosαα(3)Vy=-Lsinαα(4)系统的总势能为重力势能：EP=mgh=mgLcosα(5)系统总动能的表达式：Ek=EkM+EkVx+EkVy+Ekm(6)求摆杆的转动惯量：I=x2dm=mL-hL-hx2dx=13mL2-3Lh+3h2代入h=L，得Jm=13mL2(7)则总动能为：Ek=12JMθ2+12mrθ-Lcosαα2+12m-Lsinαα2+12Jmα2(8)定义Lagrange算子La：La=Ek-Ep=12JMθ2+23mL2α2-mLrcosααθ+12mr2θ2-mgLcosα(9)由Lagrange方程：∂∂t∂La∂θ-∂

7、La∂θ=T-Beqθ(10)∂∂t∂La∂α-∂La∂α=0(11)得：JMθ-mLrcosαα+mLrsinαα2+mrθ=T-Beqθ(12)43mL2α-mLrθcosα-mgLsinα=0(13)近似认为α很小，对方程(10)、(11)进行线性化，即认为sinα→α,cosα→1，高次项α2→0，得：JM+mr2θ-mLrα=T-0(14)43mL2α-mLrθ-mgLα=0(15)其中电机输出力矩为：T=(16)其中ηm、ηg为电机、减速器效率；Ki、Kg为电机力矩和减速比系数；Vm为电机电枢电压；Rm为电机电枢电