第4章 平面问题的极坐标解答ppt课件.ppt

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1、第四章平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-2极坐标中的几何方程与物理方程§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力与相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力§4-7压力隧洞§4-8圆孔的孔边应力集中§4-9§4-10半平面体在边界上受法向分布力主要内容半平面体在边界上受法向集中力平面问题——极坐标解本质上坐标系的选择并不影响

2、弹性力学问题的求解。但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题的求解难易程度。圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比较方便。§4-1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyOPABC体力：应力：PA面PB面BC面AC面应力正向规定：正应力——拉为正，压为负；剪应力——r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。xyOPABC2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：将上式化开：（高阶小量，舍去）xyOPABC两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：xyOPABC——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）方程（4－1）中

3、包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。§4-2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程xyOPAB(1)假定只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）xyOPBA径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）yxOPBA(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：环向线段PB的转角：（h）使原直角扩大

4、，故为负（i）剪应变为：（j）(3)总应变整理得：（4－2）——极坐标下的几何方程2.物理方程平面应力情形：平面应变情形：（4－3）（4－4）由于物体是各向同性的，因此物理方程与直角坐标的表达形式相同，只要将其中的x和y换成r和θ即可。弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）几何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面应力情形)§4-3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下变形调方程（相容方程）（2-22）（2-23）（平面应力情形）（2-25）(2-27)(2-26)应力的应力函数表示：体力常量时方法：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xy

5、OrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量与相容方程的坐标变换：应力分量的坐标变换通过中间变量r、θ的关于x、y的复合函数(a)(b)(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（2－24）：把X轴和Y轴分别转到r和θ的方向极坐标下应力分量计算公式：（4－5）可以证明：式（4－5）满足平衡方程（4－1）。相容方程的坐标变换说明：式（4－5）仅给出体力为零时的应力分量表达式。相容方程的坐标变换(a)(b)将式(a)与(b)相加，得得到极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的相容方程为：（4－6）方程（4－6）为常体力情形的相容方程。说明：弹性力学平面问题

6、极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）几何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面应力情形)弹性力学极坐标求解归结为（1）由问题的条件求出满足式（4－6）相容方程的应力函数（4－6）（2）由式（4－5）求出相应的应力分量：（4－5）（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）§4-4应力分量的坐标变换式应力分量不但具有方向性，还与作用面有关；不同类型坐标系中的应力分量的表达式是不同的。(1)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量（4－7）(2)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应

7、力分量（4－8）§4-5轴对称应力与相应的位移轴对称：物体的形状或物理量是绕某一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。工程实例：桩基、储油罐、钻孔等求解方法：——逆解法1.轴对称问题应力分量与相容方程（1）应力分量（4－9）（2）相容方程2.相容方程的求解将相容方程表示为：4阶变系数齐次微分方程将其展开，有0.轴对称问题的应力函数——4阶变系数齐次微分方程方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值方程的特征根为：于是，方程的解为：将代回：（4－1