第四章平面问题极坐标解答ppt课件.ppt

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1、第四章平面问题的极坐标解答§4－1极坐标中的平衡微分方程xyPρddρ正面ρ正面PABC极坐标下平衡微分方程的推导径向平衡微分方程：切向平衡微分方程：得和到一起§4－2极坐标中的几何方程及物理方程仅有径向位移时：于是仅有切向位移时：物理方程：平面应力问题：平面应变问题：§4－3极坐标中的应力函数与相容方程§4－4应力分量的坐标变换式§4－5轴对称应力和相应的位移轴对称是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的。若应力绕z轴对称，则在任一环向线的各点上应力分量的数值相同，方向对称于z轴。在极坐标下，应力分量仅为ρ的函数，不随而

2、变，切应力xy为零。应力函数为：则应力分量为：相容方程为：或：相容方程为4阶常微分方程，全部通解有4项：积分后得应力函数：式中A，B，C，D为待定常数。轴对称应力一般解答为轴对称应力问题对应的应变和位移：对于平面应力问题，由物理方程，得应变分量：可见应变也是对称的。由几何方程：由第一式积分：f()为任意函数。由第二式，得：将前式代入，得：积分后得：再代入第三式，得：分离变量：等号两边应为同一常数，记为F，于是有由前一式，积分得：由后一式，由求导变换为微分方程：解答为：而：故轴对称应力状态下的位移分量为：*上面是轴对称应力状态

3、下应力分量和位移分量的一般解答。§4－6圆环或圆筒受均布压力应力分布是轴对称的，应力分量表达式为：由边界条件来确定常数A，B，C。圆环内外边界条件为：上面的两个边界条件是自然满足的。下面的两个边界条件只能确定两个常数。由多连体的位移单值条件，可以确定B=0。（P63)于是由下面的两个边界条件得：应力分量为：(拉梅解答)讨论：分别考察内外压力单独作用时的情况。仅有外压力单独作用：均为压力。仅有内压力单独作用：当外径趋于无穷大时，得到具有圆孔的无限大平板或具有圆形孔的无限大弹性体，此时在离洞口较远处，应力可以忽略不计。§4－8圆孔的

4、孔口应力集中本节利用弹性力学方法来讨论这一问题。问题转换为在外环边界处受均布拉力的问题。这样问题问题的解答，可将上节圆环受均布外压力中零-q2=q。R远大于r，得应力分量：外环边界条件：内环边界条件：采用半逆解法，设为的某一函数乘以cos2，为的另一函数乘以sin2，但可假设：代入相容方程，得：解常微分方程，得：应力函数为：应力分量为：由边界条件：解出A，B，C，D，并令r/R=0，得：应力分量：对一般情况：沿孔边，环向应力为：沿y轴，环向应力为：沿x轴，环向应力为：§4－9半平面体在边界上受集中力§4－10半

5、平面体在边界上受分布力均布荷载（q=常数），则K点在均布力之外，则沉陷为：取基点B很远，则积分结果可写为：K点在均布力的中点时（x=0），则沉陷为：解答形式与前面相同，C也相同，但Fki=0。