第4章 平面问题的极坐标解答.ppt

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1、第四章平面问题的极坐标解答§4-1极坐标中的平衡微分方程在处理弹性力学问题时，选择什么样的坐标系，虽不会影响对问题本质的描绘，但却直接关系到解决问题的难易程度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆形、扇形、楔形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标求解要方便得多。xyOρPxy图4-1考虑平面上的一个微分体PACB，沿方向的正应力称为径向正应力，用表示，沿方向的正应力称为环向正应力，用表示，切应力用表示，各应力分量的正负号的规定和直角坐标中一样。径向及环向的体力分量分别用及表示。如图4-1。图4-1图4-1注意：两面不平行，夹角为；两面面积不等，分别为，。从原点出发为正，

2、从x轴向y轴方向转向为正。图4-1考虑图示单元体的平衡，可列三个平衡方程：由，可以得出切应力互等关系：图4-1由，有：D由，有：D这就是极坐标中的平衡微分方程。整理以上两式，得：上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同。直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中，由于微元体垂直于半径的两个面面积不等，而且半径愈小相对差值愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。两个平衡微分方程中包含三个未知函数、和，所以问题是静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系。一、几何方程—位移与形变间的微分关系§4-2极坐标中的几何方程及物理方程在极坐标中规定:---径向正应变---环向正

3、应变---切应变(径向与环向两线段之间的直角的改变)---径向位移---环向位移P图4-2xyOAB可用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。（1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示。xyOPABxyOPAB径向线段PA的正应变为：环向线段PB的正应变为：径向线段PA的转角为：环向线段PB的转角为：可得此时的切应变为：xyOPAB（2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。图4-3yxOPBA径向线段PA的正应变为：环向线段PB的正应变为：径向线段PA的转角为：图4-3yxOPBA环向线段PB的转角(该转角使直角扩大)为：可见切应变为：图4-3yx

4、OPBA如果同时存在径向和环向位移，则由叠加法得：这就是极坐标中的几何方程。二、物理方程（1）平面应力情况：（2）平面应变情况：将上式中的换为，换为。§4-3极坐标中的应力函数与相容方程为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：得到：xyOρPxy（a）（b）xyOρPxy在φ=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（体力为零）：（c）xyOρPxy得到：可以证明，当体力为零时，这些应力分量确能满足平衡微分方程。由（a）+（b），得：xyOρPxy用极坐标求解平面问题时（体力不计），就只须从相容方程求解应力函

5、数，然后求出应力分量，再考察应力分量是否满足边界条件，多连体还要满足位移单值条件。于是由直角坐标的相容方程：得到极坐标中的相容方程：§4-4应力分量的坐标变换式在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。设已知极坐标中的应力分量、、。试求直角坐标中的应力分量、、。图4-4如图4-4，在弹性体中取微小三角板A，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分别为及。图4-4x根据三角板A的平衡条件，可

6、得平衡方程：用代替，得：图4-4bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分别为及。同理，由平衡条件，可得：图4-4另取微小三角板B，如图4-4，根据平衡条件，得到：综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：利用简单的三角公式，上式可改写为：§4-5轴对称应力和相应的位移如果物体的形状或某物理量是绕一轴对称的，通过对称轴的任何面都是对称面，称为轴对称问题。如果应力绕Z轴对称，应力分量仅是半径的函数，切应力为零。如受内、外压的圆环。应力数值轴对称—仅为的函数，应力方向轴对称—轴对称应力问题：相容方程简化为:4阶变系数齐次微分方程采用逆解法，假定应力函数仅是径向坐标

7、ρ的函数:方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程令：有其特征方程方程的特征根为：于是，方程的解为：1.应力分量将方程（4-11）代入应力分量表达式将代回：2.位移分量对于平面应力问题，有物理方程（a1）（a2）（a3）积分式（a）中的第一式，有——是任意的待定函数（b）将式（b）代入式（a）中第二式，得将上式积分，得:（c）——是ρ任意函数或写成：要使该式成立，等式两边须为同一常数。将式（b）、（c）代入式（a）中第三式，（d）（e）式中F为常数。对其积分有：（f）其中H为常数。对式（e）两边求导其