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1、SF01（数）Ch9不定积分计划课时：16时P85—1002001．11．25.100Ch9不定积分（16时）§1概念基本公式初等化简求积分（2时）引入：微分问题的反问题，运算的反运算.一.不定积分的定义:1．原函数：例1填空:;(;;;;.定义.注意是的一个原函数.原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法.原函数的个数:Th若是在区间上的一个原函数,则对—Const，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有.(证)可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}.原函数的存在性:连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见,初等函数在
2、其定义域内有原函数;若在区间上有原函数,则在区间上有介值性.100例2已知为的一个原函数,=5.求.2.不定积分——原函数族：:定义,不定积分的记法,几何意义.例3;.3.不定积分的基本性质:以下设和有原函数.⑴.(先积后导,形式不变).⑵.(先导后积,多个常数)⑶时，⑷由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对,有(当时,上式右端应理解为任意常数.)例4.求.(=2).二.不定积分基本公式:基本积分表.[1]P240—242公式1—14.例5.三．利用初等化简计算不定积分:参阅[4]P181.例6.求.例7.100例8.例9.例10⑴;⑵例11.例1
3、2.Ex[1]P2442，3，4⑴―⒁；[4]P247—2541—3，5，6，72⑴―⑸⑻⑼.§2换元积分法与分部积分法（10时）一.第一类换元法——凑微法：由引出凑微公式.Th若连续可导,则该定理即为：若函数能分解为100就有.例1.例2.例3常见微分凑法：[4]P183—190.凑法1例4例5例6例7由例4—7可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.例8⑴.⑵.100凑法2.特别地,有.和.例9.例10例11.例12=.凑法3例13⑴⑵例14[1]P247E6例15.例16凑法4.100例17凑法5例18凑法6..其他凑法举例:..
4、例23.[4]P191E28例24.[4]P191E28100例25例26.Ex[1]P253—2541⑴—(24)；[4]254—25674—81.二.第二类换元法——拆微法：[2]P192从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即===引出拆微原理.Th2设是单调的可微函数,并且又具有原函数.则有换元公式(证)参[2]P192.常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1.三角代换:[4]P194.⑴正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如的根式施100行的,目的是去掉根号.
5、方法是:令,则例27解法一直接积分;解法二用弦换.例28.（参阅例11）.⑵正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式即令.此时有变量还原时,常用所谓辅助三角形法..解令有.利用例22的结果,并用辅助三角形,有==例31[1]P249—250E11⑶正割代换:正割代换简称为“割换”.是针对型如的根式施100行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式令有变量还愿时,常用辅助三角形法.例32解.例33.解法一（用割换）解法二（凑微）参阅[1]P250E12.2.无理代换:[4]P192.若被积函数是的
6、有理式时,设为的最小公倍数,作代换,有.可化被积函数为的有理函数.例34.例35.100若被积函数中只有一种根式或可试作代换或.从中解出来.例36.例37例38(给出两种解法)例39.本题还可用割换计算,但较繁.2.双曲代换:利用双曲函数恒等式,令,可去掉型如的根式..化简时常用到双曲函数的一些恒等式,如::参阅复旦大学(陈传璋等)编,数学分析,上册P24.例40100.本题可用切换计算,但归结为积分,该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.例40(例30曾用切换计算过该题.现用曲换计算).解..(例32曾用割换计算过该题.现用曲换计算).解2.倒代换
7、:当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式”时,可试用倒代换.3.万能代换:万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261).令，就有，100，.解法一(用万能代换).解法二(用初等化简).解法三(用初等化简,并凑微)例45[2]P198E35解=.代换法是一种很灵活的方法,参阅[4]P204例49.Ex[1]P2451(25)(27)(28)—(32);[4]P25682—84.三.分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.1.幂X型函数的积分:分部积分追求的目标之一是:对被积函数两100因子之一争取求导,以使该因子
8、有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁),但总体上应使积分简化或能直接积出.对“
