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1、SF01（数）Ch21重积分(续)与含参量非正常积分计划课时：8时P247—2622002.10.29.262Ch20重积分(续)与含参量非正常积分(8时)§1二重积分可积性与换元公式(2时)一．可积性：回顾一元函数可积条件的讨论.Th函数在平面上可求面积区域上(R)可积对,存在区域的分割,使得.这里为函数在上的振幅,即.例1设为定义在矩形域上的函数.若函数在上可积,在上可积.则函数在上可积,且.[1]P286Ex2.证对,存在区间的分法和区间的分法,使,.这里,.构成的一个分割,在第个小矩形上,注意到.262,其中.于是在的分割之下,有+.因此,函数在矩形域上可积,且.二.二
2、重积分换元公式的证明(简证):主要是证明换算公式.设函数在平面上的区域内有连续的偏导数.在此变换之下,平面上的区域变为平面上的区域,且设.引理如上所述,又设在平面上有一块包含点262的区域,点和都在内.通过变换将点变换为平面上一点,将变换为平面上包含点的一块区域.那么当无限地向点收缩时,它们的面积之比的极限为,即.证明思路:ⅰ>在内取出一点,作一个矩形(边与坐标轴平行,字母依逆时针标记).设四个顶点的坐标为,.则其面积分为.ⅱ>变换把该矩形变为平面上的一个曲边四边形，设四个顶点的坐标为，，，.ⅲ>用Taylor公式把曲边四边形的四个顶点坐标用和表示出来:;,.;,.262ⅳ>略
3、去和,得仿射变换.在该仿射变换之下,矩形变为平行四边形.用该平行四边形的面积近似代替曲边四边形的面积.平行四边形的顶点坐标是上述的顶点坐标表达式中略去和所剩的式子.该平行四边形的面积==.引理的证明.(由上述分析给出简证).Ex[1]P3286*.§2含参广义积分(2时)一.含参无穷积分:1.含参无穷积分:函数定义在上(可以是无穷区间).以为例介绍含参无穷积分表示的函数.2.含参无穷积分的一致收敛性:逐点收敛(或称点态收敛)的定义:,,使.引出一致收敛问题.262定义(一致收敛性)设函数定义在上.若对,使对成立,则称含参无穷积分在(关于)一致收敛.Th21.5(Cauchy收敛
4、准则)积分在上一致收敛,对成立.例1证明含参量非正常积分在上一致收敛,其中.但在区间内非一致收敛.[1]P336E13.含参无穷积分与函数项级数的关系:Th21.6积分在上一致收敛,对任一数列,↗,函数项级数在上一致收敛.(证略)二.含参无穷积分一致收敛判别法:1.WeierstrassM判别法:设有函数,使在上有.若积分,则积分在一致收敛.例2证明含参无穷积分在内一致收敛.[1]P338E22.Dirichlet判别法和Abel判别法:[1]P339三.含参无穷积分的解析性质:含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函262数的解析性质.1.连续性:积分号下取极限定理.Th21
5、.7设函数在上连续.若积分在上一致收敛,则函数在上连续.(化为级数进行证明或直接证明)系在Th21.7的条件下,对,有2.可微性:积分号下求导定理.Th21.8设函数和在上连续.若积分在上收敛,积分在一致收敛.则函数在上可微,且.3.可积性:积分换序定理.Th21.9设函数在上连续.若积分在上一致收敛,则函数在上可积,且有.关于在上的积分换序问题.[1]P342.例3计算积分[1]P342.E4四.含参瑕积分简介:Ex[1]P3501⑵⑶，2，3⑴.262§3Euler积分(4时)本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是
6、很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数——Euler第二型积分：1.Gamma函数:考虑无穷限含参积分,当时,点还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为来讨论其敛散性.:时为正常积分.时,.利用非负函数积的Cauchy判别法,注意到时积分收敛.(易见时,仍用Cauchy判别法判得积分发散).因此,时积分收敛.:对R成立,.因此积分对R收敛.综上,时积分收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了内的一个函数,称该函数为Gamma函数,记为,即=,.函数是一个很有用的特殊函数.2.函数的连续性和可导性:在区间内非一致收敛.这是因为时积分发散.这里利用了下面的结
7、果:若含参广义积分在内收敛,但在点发散,则积分在262内非一致收敛.(证明参阅:复旦教案和18(合)P368E1.)但在区间内闭一致收敛.即在任何上,一致收敛.因为时,对积分,有,而积分收敛.对积分,,而积分收敛.由M—判法,它们都一致收敛,积分在区间上一致收敛.作类似地讨论,可得积分也在区间内闭一致收敛.于是可得如下结论:的连续性:在区间内连续.的可导性:在区间内可导,且.同理可得:在区间内任意阶可导,且.3.凸性与极值:,在区间内严格下凸.(参下段),在区间内唯一的极限小值点(亦为最小值
